VII 권
명제
명제 16
두 수를 서로 곱해서 어떤 수를 만들면, 이때 만들어진 수들의 크기는 서로 같다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(c=ab\), \(d=ba\)라 하자. 그러면 \(c=d\)이다.
VII 권
명제
두 수를 서로 곱해서 어떤 수를 만들면, 이때 만들어진 수들의 크기는 서로 같다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(c=ab\), \(d=ba\)라 하자. 그러면 \(c=d\)이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(c=ab\), \(d=ba\)라 하자.
그러면 \(c=d\)임을 보여야 한다.
단위 수 \(e\left(=1\right)\)일때, \(c=ab\)이고 \(a:e=c:b\)이다. [VII권 정의 15]
그러나 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(a=ne\)이다. 그러므로 \(c=nb\)이다. 즉, \(e:a=b:c\)이다.
그러므로 바꾼 비례식에 의하여 \(e:b=a:c\)이다. [VII권 명제 15]
\(d=ba\)이고 어떤 수 \(m\)에 대하여 \(b=me\)이고 \(d=na\)이다. 즉, \(e:b=a:d\)이다.
그리고 \(e:b=a:c\)임을 보였다. 그러므로 \(a:c=a:d\)이다.
그러므로 \(c=d\)이다.
그러므로 두 수를 서로 곱해서 어떤 수를 만들면, 이때 만들어진 수들의 크기는 서로 같다.
Q.E.D.
이 명제는 곱셈의 교환법칙에 대한 것이다.
\(a=nu\), \(b=mu\)라 하자. 곱셈 정의에 의해서 \(ab=nb\), \(ba=ma\)이다. 앞의 명제에 의해서 \(n\left(mu\right)=m\left(nu\right)\)이므로 \(ab=ba\)이다.
이 명제는 [VII권 명제 18]에서 사용되고 [VII권]에서 약간 사용된다.