VII 권
명제
명제 30
두 수를 곱한 수의 약수가 소수라고 하자. 그러면 어떤 소수가 두 수 중 한 수의 약수이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(c=ab\)라 하자. 그리고 소수 \(d\)가 \(c\)의 약수라 하자. 그러면 \(d\)는 \(a\), \(b\) 중 한 수의 약수이다.
VII 권
명제
두 수를 곱한 수의 약수가 소수라고 하자. 그러면 어떤 소수가 두 수 중 한 수의 약수이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(c=ab\)라 하자. 그리고 소수 \(d\)가 \(c\)의 약수라 하자. 그러면 \(d\)는 \(a\), \(b\) 중 한 수의 약수이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(c=ab\)라 하자. 그리고 \(d\)가 \(c\)의 약수라 하자.
그러면 \(d\)는 \(a\), \(b\) 중 한 수의 약수임을 보여야 한다.
소수 \(d\)가 \(a\)의 약수가 아니라고 하자. 즉, 나누지 못한다고 하자.
\(d\)가 소수이므로 \(a\), \(d\)는 서로소이다. [VII권 명제 29]
\(d\)가 \(c\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(c=nd\)라 하자. 단위 수 \(u\)에 대하여 \(e=nu\)라 하자. 그러면 \(e=nu\)이고 \(c=nd\)이므로 \(c=de\)이다. [VII권 정의 15]
그리고 \(c=ab\)이다. 그러므로 \(de=ab\)이다.
그러므로 \(d:a=b:e\)이다. [VII권 명제 19]
그런데 \(d\), \(a\)는 서로소이다. 서로소인 두 수의 비율과 같은 수들 중에서 가장 작은 수들은 이 서로소인 두 수이고 다른 비율은 서로소인 두 수 비율의 배수이다. 즉, 두 비율에서 앞의 수는 앞의 수와 뒤의 수는 뒤의 배수이다. [VII권 명제 21] 그러므로 \(d\)는 \(b\)의 약수이다 .[VII권 명제 20]
같은 방법으로 \(d\)가 \(a\)의 약수가 아니라고 하면 \(a\)의 약수임을 보일 수 있다. 그러므로 \(d\)는 \(a\), \(b\) 중 한 수의 약수이다.
두 수를 곱한 수의 약수가 홀수라고 하자. 그러면 홀수는 두 수 중 한 수의 약수이다.
Q.E.D.
이 명제는 만약 \(p\)가 소수라면, \(p\)가 두 개의 수 \(a\), \(b\)의 곱 \(ab\)를 나누면, 두 수 \(a\), \(b\) 중 적어도 하나를 나눈다는 의미이다. 이것은 실제로 소수의 성질이다. 즉, 어떤 합성수에도 이러한 성질은 없다. (\(c\)가 합성수라면 \(c = ab\)이므로 \(c\)는 곱의 \(ab\)을 나누지만 인자 \(a\)나 \(b\)는 나누지 않는다.)
소수 \(d\)가 곱 \(ab\)을 나눈다고 가정하자.
증명을 하여보자. \(d\)가 \(a\)를 나누지 않으면 \(d\)가 \(b\)를 나누며, 마찬가지로 \(d\)가 \(b\)를 나누지 않으면 \(d\)가 \(a\)를 나눈다는 것을 증명한다. 따라서 둘 중 하나를 나눈다.
\(d\)는 \(a\)를 나누지 않는다고 가정한다. 그러면 [VII권 명제 29]에 의해서 \(d\), \(a\)는 서로소이다. \(e=\frac{ab}d\)라 하자. 그러면 \(d : a = b : e\)이다. [VII권 명제 21]에서는 \(d:a\)의 비율이 가장 작다. 그러므로 [VII권 20]에 의해서 \(d\)가 \(b\)를 나눈다.
이 명제는 [IX권 명제 14]에서 사용된다.