애플릿

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증명

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\(a\)가 \(\overline{\rm BC}\)의 약수라고 하고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=na\)이라 하자. 또한 \(d\)가 \(\overline{\rm EF}\)의 약수이고 이전의 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EF}=nd\)라 하자.

그러면 \(a+d\)는 \(\overline{\rm BC}+\overline{\rm EF}\)의 약수이고 이전의 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}+\overline{\rm EF}=n\left(a+d\right)\)임을 보여야 한다.

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\(a\)는 \(\overline{\rm BC}\)의 약수이고 \(d\)는 \(\overline{\rm EF}\)의 약수이며, 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=na\), \(\overline{\rm EF}=nd\)이다.

\(\overline{\rm BC}\)를 \(a\)로 같은 크기로 나눈 것을 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GC}\)라 하고, \(\overline{\rm EF}\)를 \(d\)와 같은 크기로 나는 것을 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm HF}\)라고 하자. \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GC}\)의 개수와 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm HC}\)의 개수는 \(n\)으로 같다. (증명에서는 \(n=2\)가 사용되었다.)

\(\overline{\rm BG}=a\), \(\overline{\rm EH}=d\)이므로 \(\overline{\rm BG}+\overline{\rm EH}=a+d\)이다. 같은 이유로 \(\overline{\rm GC}+\overline{\rm HF}=a+d\)이다.

그러므로 \(\overline{\rm BC}=na\)인 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}+\overline{\rm EF}=n\left(a+d\right)\)이다.

그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 \(a\)의 배수이고 \(\overline{\rm BC}=na\)를 만족하는 어떤 수 \(n\)에 대하여, \(\overline{\rm BC}+\overline{\rm EF}\)는 \(a+d\)의 배수이고 \(\overline{\rm BC}+\overline{\rm EF}=n\left(a+d\right)\)을 만족한다.

그러므로 \(\overline{\rm BC}=na\)의 어떤 수 \(n\)에 대하여, \(\overline{\rm BC}+\overline{\rm EF}=n\left(a+b\right)\)이다.

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그러므로 어떤 수가 어떤 수의 약수라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 약수라고 하자. 또한 약수가 두 수 모두 같은 크기의 개수로 나눈다. 그러면 약수를 더한 것은 두 수를 더한 것의 같은 약수가 된다.

Q.E.D.