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증명

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수 $a$가 수 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$의 약수이고 어떤 수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=na$라 하자. $d\ne a$인 수 $d$가 수 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$의 약수이고 이전 같은 어떤 수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}=nd$라 하자.

그러면 바꾼 비례식 $a$가 $d$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $a=\frac{p}{q}d$이라 하면, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$의 부분이고 이전 같은 수 $p$, $q$에 대하여 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$임을 보여야 한다.

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수 $a$가 수 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$의 약수이고 어떤 수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=na$를 만족하고 수 $d$가 수 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$의 약수이고 이전 같은 어떤 수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}=nd$이기 때문에 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$에 $a$가 $n$개 들어 있듯이 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$에도 $d$가 $n$개 들어있다.

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$를 $a$와 같은 크기들로 나누자. 나누어진 것을 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}$라 하자.(여기서는 $n=2$이다.) 그리고 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$를 $d$와 같은 크기로 나누자. 나누어진 것을 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}}$라 하자. 그러면 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}$의 개수와 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}}$의 개수는 $n$로 같다.

두 수 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}$는 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$이고 두 수 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}}$도 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}}$이다. 그리고 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}$의 개수와 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}}$의 개수는 $n$개로 같다. 그러므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$는 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$이든 간에, $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}$도 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$의 부분이고 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}}$이다. 따라서 이들을 각각 더하면 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}+\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}+\frac{p}{q}\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}}=\frac{p}{q}(\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}+\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}})$로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}+\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}$는 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}+\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}}$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}+\overline{\mathrm{G}\mathrm{C}}=\frac{p}{q}(\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}+\overline{\mathrm{H}\mathrm{F}})=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$이다. [VII권 명제 5, 명제 6]

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}=a$이고, $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}=d$이다. 그러므로 $a$가 $d$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $a=\frac{p}{q}d$이든, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$의 부분이고 어떤 수 $p$, $q$에 대하여 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{p}{q}\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$이다.

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그러므로 어떤 수가 어떤 수의 약수라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 첫째 수가 셋째 수에 대해 어떤 약수, 어떤 부분이 되든지 둘째 수는 넷째 수에 대해 이전과 같은 약수와 같은 부분이 된다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 대수적표현으로 다음과 같다.

$a=\frac{b}{n}$, $d=\frac{e}{n}$에 대하여, $a=\frac{p}{q}d$이면 $b=\frac{p}{q}e$

이 명제의 증명에서는 $\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$에 대하여 증명하였다.

[VII권 명제 15]에서는 이 명제의 특별한 경우의 작도 가능함을 보인다.

이 명제는 다음 명제에서 사용된다.