애플릿
증명
수 \(a\)가 수 \(\overline{\rm BC}\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=na\)라 하자. \(d\ne a\)인 수
\(d\)가 수 \(\overline{\rm EF}\)의 약수이고 이전 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EF}=nd\)라 하자.
그러면 바꾼 비례식 \(a\)가 \(d\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(a=\frac pq d\)이라 하면, \(\overline{\rm BC}\)는
\(\overline{\rm EF}\)의 부분이고 이전 같은 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=\frac pq\overline{\rm EF}\)임을
보여야 한다.
수 \(a\)가 수 \(\overline{\rm BC}\)의 약수이고 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=na\)를 만족하고 수 \(d\)가 수
\(\overline{\rm EF}\)의 약수이고 이전 같은 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm EF}=nd\)이기 때문에 \(\overline{\rm
BC}\)에 \(a\)가 \(n\)개 들어 있듯이 \(\overline{\rm EF}\)에도 \(d\)가 \(n\)개 들어있다.
\(\overline{\rm BC}\)를 \(a\)와 같은 크기들로 나누자. 나누어진 것을 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GC}\)라
하자.(여기서는 \(n=2\)이다.) 그리고 \(\overline{\rm EF}\)를 \(d\)와 같은 크기로 나누자. 나누어진 것을 \(\overline{\rm EH}\),
\(\overline{\rm HF}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GC}\)의 개수와 \(\overline{\rm EH}\),
\(\overline{\rm HF}\)의 개수는 \(n\)로 같다.
두 수 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GC}\)는 \(\overline{\rm BG}=\overline{\rm BC}\)이고 두 수 \(\overline{\rm
EH}\), \(\overline{\rm HF}\)도 \(\overline{\rm EH}=\overline{\rm HF}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm
GC}\)의 개수와 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm HF}\)의 개수는 \(n\)개로 같다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)는
\(\overline{\rm EH}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm BG}=\frac pq\overline{\rm EH}\)이든 간에,
\(\overline{\rm GC}\)도 \(\overline{\rm EH}\)의 부분이고 \(\overline{\rm GC}=\frac pq\overline{\rm HF}\)이다. 따라서 이들을
각각 더하면 \(\overline{\rm BG}+\overline{\rm GC}=\frac pq\overline{\rm EH} + \frac pq\overline{\rm HF}=\frac
pq\left(\overline{\rm EH}+\overline{\rm HF}\right)\)로 \(\overline{\rm BG}+\overline{\rm GC}\)는 \(\overline{\rm
EH}+\overline{\rm HF}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BG}+\overline{\rm
GC}=\frac pq\left(\overline{\rm EH}+\overline{\rm HF}\right)=\frac pq\overline{\rm EF}\)이다. [VII권 명제 5, 명제 6]
\(\overline{\rm BG}=a\)이고, \(\overline{\rm EH}=d\)이다. 그러므로 \(a\)가 \(d\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여
\(a=\frac pq d\)이든, \(\overline{\rm BC}\)는 \(\overline{\rm EF}\)의 부분이고 어떤 수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(\overline{\rm
BC}=\frac pq\overline{\rm EF}\)이다.
그러므로 어떤 수가 어떤 수의 약수라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 약수라고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 첫째
수가 셋째 수에 대해 어떤 약수, 어떤 부분이 되든지 둘째 수는 넷째 수에 대해 이전과 같은 약수와 같은 부분이 된다.
Q.E.D.
