크기가 같은 두 원은 지름이 같거나 반지름이 같은 원들이다.
어떤 직선이 원과 만나지만 원을 자르지 않으면, 그 직선은 원에 접한다고 말한다.
두 원이 만나지만 서로 자르지 않으면, 두 원은 접한다고 한다.
원 안의 직선(현)들이, 원의 중심으로 부터 이 직선(현)들에 수선을 그었을 때 그 길이가 같으면, 이 직선(현)들이 원의 중심으로 부터 같은 거리에 있다고 한다.
원의 중심에서 현에 수직이 되도록 그은 수선이 길이가 더 길면, 현은 원의 중심에서 더 멀리 떨어져 있다라고 한다.
활꼴(Segment of a circle)은 원둘레(원주)와 선분으로 이루어진 도형이다.
활꼴의 각이란 직선과 원둘레(원주)가 만드는 각을 말한다.
활꼴의 내부 원주각이란 활꼴을 이루는 원 둘레의 한 점에서 활꼴의 밑변을 이루는 선분의 양 끝점에 두 선분을 그었을 때, 그 두 직선이 만드는 각을 말한다.
각을 만드는 두 직선이 원둘레를 자르고 지나갈 때, 그 각은 원둘레에서 서 있다고 한다.
원의 중심에 각을 만들었을 때, 그 각을 만드는 두 직선과 그 직선들에 의해 잘린 원 둘레로 둘러싸인 도형을 부채꼴이라 한다.
각들의 크기가 같은 두 활꼴을 ‘닮음 활꼴’이라고 한다.
주어진 원의 중심을 찾을 수 있다.
주어진 원\(\rm ABC\)의 중심을 찾을 수 있다.
어떤 직선이 주어진 원과 두 점에서 만나고, 그 두 점을 이은 선분(현)의 수직이등분선(두 점이 원 위에 있는 선분(현)과 수직이고 중점을 지나는 직선)은 원의 중심을 지난다.
주어진 원의 원둘레에 임의의 두 점을 잡고 이를 이은 선분은 원 안쪽에 놓인다.
주어진 원 \(\rm ABC\)의 원둘레 위의 임의의 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)에 대하여 선분(현) \(\rm AB\)는 원의 안쪽에 놓인다.
주어진 원의 중심을 지나는 직선이 중심을 지나지 않는 선분(현)을 이등분 하면, 직선은 선분(현)을 수직으로 자른다. 또한 직선이 선분(현)을 수직으로 자르면 그 선분(현)은 직선에 의해 이등분된다.
주어진 원 \(\rm ABC\)의 중심 \(\rm E\)를 지나는 선분 \(\rm CD\)는 중심을 지나지 않는 선분(현) \(\rm AB\)를 이등분하면 선분 \(\rm CD\)와 선분(현) \(\rm AB\)는 수직이고, 선분 \(\rm CD\)가 선분(현) \(\rm AB\)를 수직으로 자르면 선분 \(\rm CD\)는 선분(현) \(\rm AB\)를 이등분 한다.
주어진 원의 중심을 지나지 않는 두 현이 교차하면, 이 두 선분(현)은 서로를 동시에 이등분 할 수 없다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)에서 중심을 지나지 않는 두 선분(현) \(\rm AC\)와 \(\rm BD\)가 만나면, 이 두 선분(현)은 서로를 동시에 이등분 할 수는 없다.
주어진 두 원이 서로를 자르고 지나면, 이 두 원의 중심이 같을 수 없다.
주어진 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDG\)가 서로 다른 두 점에서 만나면 이 두 원의 중심은 같을 수 없다.
주어진 두 원이 한 점에서 접하면, 이들 두 원의 중심은 같은 수 없다.
주어진 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\)가 한 점에서 접하면, 이 두 원의 중심은 같을 수 없다.
주어진 원의 지름에서 중심(중점)이 아닌 어떤 점에 대하여 그 점에서 원둘레의 위의 임의의 점까지 선분을 그리면, 그 중 가장 긴 선분은 윈의 중심을 지나는 것이고, 가장 짧은 것은 지름에서 긴 선분을 뺀 것이고, 다른 선분들도 원의 중심에 가까운 것이 먼 것보다 더 길며, 길이가 같은 선분은 쌍으로 존재하며, 가장 짧은 선분의 양쪽 영역에 하나씩 존재한다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)의 지름이 선분 \(\rm AD\)이고 중심 \(\rm E\)이고 중심이 아닌 지름 \(\rm AD\) 위의 점 \(\rm F\)에 대하여, 점 \(\rm F\)에서 지름 \(\rm AD\)로 나누어진 같은 쪽 원둘레 위의 점 \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm G\)가 있으면, 점 \(\rm F\)와 원둘레 위의 임의의 점을 이은 선분들 중 선분 \(\rm FA\)가 가장 길고, 선분 \(\rm FD\)가 가장 짧으며, 점 \(\rm F\)로부터 중심을 지나는 직선에 점 \(\rm F\)로 부터 원둘레 위의 점을 이은 선분이 가까운 선분 \(\rm FB\)가 먼 선분 \(\rm FC\) 보다 더 길고, 또한 선분 \(\rm FG\)와 같은 선분 \(\rm FH\)가 가장 짧은 선분의 양쪽에 하나씩 존재한다.
주어진 원의 밖의 임의의 점을 잡자. 그 점에서 원둘레 위의 임의의 점까지 선분을 그려서, 한 선분이 원의 중심을 지나도록 긋고, 다른 선분들은 임의로 그리면 원둘레의 오목한 부분에 닿은 직선들 중에서 중심을 지나는 것이 가장 길고, 다른 직선들은 중심을 지나는 선분에 가까우면 가까울수록 멀리 있는 것들 보다 더 길다. 반대로, 원둘레의 볼록한 부분에 있는 선분들 중에서 그 점과 지름 사이에 놓이는 직선이 가장 짧고 다른 선분들은 가장 짧은 직선에 가까우면 가까울수록 멀리 있는 것들 보다 더 짧다. 길이가 같은 선분은 그 점에서 둘씩 그을 수 있으며, 가장 짧은 선분의 양쪽의 영역에 하나씩 존재한다.
주어진 원 \(\rm ABC\)에 대하여 원 \(\rm ABC\) 밖의 점 \(\rm D\)가 있다. 점 \(\rm D\)에서 오목한 원둘레 \(\rm AEFC\) 위의 점들까지 네 선분 \(\rm DA\), \(\rm DE\), \(\rm DF\), \(\rm DC\)를 그리면(단, 선분 \(\rm DA\)는 원의 중심 \(\rm M\)을 지난다.) 점 \(\rm D\)에서 오목한 원둘레 \(\rm AEFC\) 위의 점까지 그린 선분들 중 중심을 지나는 선분 \(\rm DA\)가 가장 길고, 중심을 지나는 선분에 가까운 선분의 길이는 더 먼 선분의 길이 보다 더 길다. 즉, \(\overline{\rm DE}>\overline{\rm DF}\)이고 \(\overline{\rm DF}>\overline{\rm DC}\)이다. 그리고 점 \(\rm D\)에서 볼록한 원둘레 \(\rm HLKG\) 위의 점들까지 네 선분 \(\rm DH\), \(\rm DL\), \(\rm DK\), \(\rm DG\)를 그리면(단, 선분 \(\rm DG\)는 점 \(\rm D\)와 지름 \(\rm AG\) 사이에 있다.) 점 \(\rm D\)에서 볼록한 원둘레 \(\rm HLKG\) 위의 점까지 그린 선분들 중 선분 \(\rm DG\)가 가장 짧고, 선분 \(\rm DG\)에 가까운 선분의 길이는 더 먼 선분의 길이보다 짧다. 즉, \(\overline{\rm DK}<\overline{\rm DL}\)이고 \(\overline{\rm DL} < \overline{\rm DH}\)이다. 또한 점 \(\rm D\)로부터 원둘레 위의 점까지 길이가 같은 두 선분 \(\rm DK\), \(\rm DB\)가 가장 짧은 선분 의 양쪽에 하나씩 존재한다.
주어진 원 내부에 임의의 점에 대하여, 그 점에서 원둘레로 길이가 같은 선분을 두 개 보다 많이 그을 수 있다고 하면 그 점은 원의 중심이다.
주어진 원 \(\rm ABC\)의 내부에 임의의 점 \(\rm D\)가 있다. 점 \(\rm D\)에서 원 \(\rm ABC\)의 원둘레 위의 임의의 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)에 그은 세 선분 \(\rm DA\), \(\rm DB\), \(\rm DC\)의 길이가 모두 같으면, 점 \(\rm D\)는 원 \(\rm ABC\)의 중심이다.
서로 다른 임의의 두 원에 대하여, 한 원은 다른 원을 두 점보다 많은 곳에서 자를 수 없다.
서로 다른 임의의 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 교점의 개수는 두 개 이하이다.
주어진 두 원 중 한 원이 내접하고 있으면, 두 원의 중심을 지나는 직선은 두 원의 접점을 지난다.
주어진 두 원 \(\rm ABC\)에 원 \(\rm ADE\)가 점 \(\rm A\)에서 내접하고 있고, 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)의 중심을 각각 \(\rm F\), \(\rm G\)이라고 하자. 그러면 직선 \(\rm FG\)는 두 원의 접점 \(\rm A\)를 지난다.
주어진 두 원이 외접하고 있으면 두 원의 중심을 지나는 직선은 두 원의 접점을 지난다.
주어진 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)가 점 \(\rm A\)에서 외접하고 중심을 각각 \(\rm F\), \(\rm G\)이라고 하면, 선분 \(\rm FG\)는 점 \(\rm A\)를 지난다.
주어진 두 원에 대하여 한 원이 다른 원과 내접 또는 외접하면, 한 점보다 더 많은 곳에서 접할 수 없다.
주어진 두 원 \(\rm ABDC\), \(\rm EBFD\)에 대하여, 원 \(\rm EBFD\)가 원 \(\rm ABDC\)에 내접하면 한 점 보다 많은 점에서 접할 수 없고, 또한 임의의 두 원 \(\rm ABDC\), \(\rm ACK\)에 대하여, 원 \(\rm ACK\)가 원 \(\rm ABDC\)에 외접하면 한 점 보다 많은 점에서 접할 수 없다.
주어진 원에서 두 점이 원 위에 있는 길이가 같은 선분(현)들은 중심으로 부터의 거리는 같고 원 중심에서 같은 거리에 있는 선분(현)들의 길이도 같다.
주어진 원 \(\rm ABDC\)에 대하여, 두 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 길이가 같으면, 원의 중심으로 부터 각각 두 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 각각의 중점까지 거리가 같다. 또한 원의 중심으로 부터 각각 두 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 중점까지 거리가 같으면 두 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 길이가 같다.
주어진 원 위의 두 점이 있는 선분(현)들 중에서 지름이 가장 길다. 두 점이 원 위에 있는 나머지 선분(현)들은 원의 중심으로 부터 가까울수록 중심에서 먼 선분(현)보다 길이가 더 길다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)는 지름이 \(\overline{\rm AD}\)이고 중심이 \(\rm E\)이다. 중심으로 부터 거리는 두 점이 원 위에 있는 선분(현) \(\rm BC\)가 선분(현) \(\rm FG\) 보다 더 가까이 있으면 선분(현)의 길이는 지름 \(\overline{\rm AD}\)가 가장 크고 \(\overline{\rm BC}>\overline{\rm FG}\)이다.
주어진 원의 지름의 양 끝 점에서 지름에 수직이 되도록 직선을 그리면, 그 직선은 원의 바깥쪽에 놓인다. 또한 그 직선과 원둘레 사이에는 어떠한 직선도 놓일 수 없다. 그리고 반원이 만드는 각은 어떠한 직선의 예각보다도 크고, 그것을 뺐을 때 남은 각은 어떠한 직선 예각보다도 작다.
주어진 원 \(\rm ABC\)은 중심 \(\rm D\)이고 지름이 \(\overline{\rm AB}\)인 원이라 하면, 점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 직선 \(\rm AE\)는 원 외부에 있다. 또한 직선 \(\rm AB\)와 원둘레 \(\rm CHA\) 사이에는 어떠한 직선도 놓을 수 없다. 그리고 반원을 만드는 각 즉 선분 \(\rm BA\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각이 어떤 두 직선 이 만드는 예각보다 크다 그리고 이것을 뺏을 때 남은 각 즉, 원둘레 \(\rm CHA\)와 직선 \(\rm EA\)가 만드는 각은 어떤 두 직선으로 만든 예각보다도 작다.
주어진 원의 지름의 끝 점에서 지름에 수직이 되도록 그은 직선은 원에 접한다.
주어진 원과 원 밖의 임의의 점이 있다. 그 점으로 부터 원에 접하는 직선(접선)을 그을 수 있다.
주어진 원 \(\rm BCD\)과 원 밖의 임의의 점 \(\rm A\)에 대하여, 점 \(\rm A\)를 지나고 원 \(\rm BCD\)에 접하는 접선을 그을 수 있다.
주어진 원에 어떤 직선이 접하고 있고 접점에서 원의 중심으로 직선을 그리면 그 직선은 어떤 접선과 수직이다.
주어진 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm C\)에 직선 \(\rm DE\)가 접하고 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm F\)라 하고 직선 \(\rm FC\)를 그리면 직선 \(\rm FC\)는 직선 \(\rm DE\)와 수직이다.
주어진 원에 어떤 직선이 접한다고 하고 접점에서 그 접선과 직각이 되도록 직선을 그리면 원의 중심은 그 직선 위에 있다.
주어진 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm C\)에서 직선 \(\rm DE\)가 접하고 있고 점 \(\rm C\)에서 직선 \(\rm DE\)에 수직인 직선 \(\rm CA\)를 그리면 원 \(\rm ABC\)의 중심이 직선 \(\rm AC\) 위에 있다.
주어진 원의 중심에서 만든 각(중심각)과 원둘레에서 만든각(원주각)이 같은 호를 밑변으로 가지면, 중심에서 만든 각의 크기는 원둘레에서 만든 각의 크기의 두 배가 된다.
주어진 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm E\)라고 하고 중심각인 각 \(\rm BEC\)과 원주각인 각 \(\rm BAC\)가 같은 호 \(\rm BC\)를 밑변으로 하고 있으면, \(\angle\rm BEC = 2\angle\rm BAC\)이다.
주어진 원에서 같은 활꼴의 내부원주각들은 크기가 같다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)에 대하여 같은 활꼴 \(\rm BAED\)에 내부 원주각인 임의의 두 각 \(\rm BAD\), \(\rm BED\)가 있으면 \(\angle\rm BAD=\angle\rm BED\)이다.
주어진 원의 내접사각형의 마주 보는 두 각을 더하면 이다.
주어진 원 \(\rm ABCD\) 안에 사각형 \(\rm ABCD\)이 내접하고 있으면 마주보는 두 대각의 합은 \(180^\circ\)이다. 즉, \(\angle\rm BDA+\angle\rm DCB=180^\circ\), \(\angle\rm ABC+\angle\rm ADC=180^\circ\)이다.
주어진 선분에 대하여, 닮은꼴이면서 서로 다른 활꼴들을 같은 쪽에 그릴 수 없다.
주어진 선분 \(\rm AB\)을 할선으로 하는 활꼴 \(\rm ACB\)가 있으면 활꼴 \(\rm ACB\)와 닮음이면서 서로 다른 활꼴을 같은 쪽에 그릴 수 없다.
같은 길이인 주어진 두 선분에 대하여, 닮은꼴 활꼴들을 만들면 그 활꼴들은 서로 같다.
두 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm CFD\)는 각각 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)인 주어진 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\)을 할선으로 하는 닮음 활꼴이면 두 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm CFD\)는 서로 같다.
주어진 어떤 활꼴에 대하여, 그 활꼴을 포함하는 완전한 원을 그릴 수 있다.
주어진 활꼴 \(\rm ABC\)를 포함하는 완전한 원 \(\rm ABC\)를 그릴 수 있다.
크기가 같은 주어진 원들에서 크기가 같은 각들은 길이가 같은 호들에 대응하면, 중심에 있는 각(중심각)은 중심에 있는 각끼리, 원둘레에 있는 각(원주각)은 원둘레에 있는 각끼리 같은 호를 갖는다.
크기가 같은 주어진 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 두 중심각 \(\rm BGC\), \(\rm EHF\)는 \(\angle\rm BGC=\angle\rm EHF\)이거나 두 원주각 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\)가 \(\angle\rm BAC=\angle\rm EDF\)이면, 이들 중심각과 원주각에 의해 각각 만들어진 두 호 \(\rm BKC\), \(\rm ELF\)는 \(\overset{\frown}{\rm BKC}=\overset{\frown}{\rm ELF}\)이다.
크기가 같은 원둘레에서 대하여, 길이가 같은 호들에 대응하는 각들은 크기가 서로 같다. 그리고 중심에 있는 각(중심각)은 중심에 있는 각끼리 크기가 같고 원둘레에 있는 각(원주각)은 원둘레에 있는 각끼리 크기가 같다.
크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, 각각의 호 \(\rm BC\), \(\rm EF\)는 \(\overset{\frown}{\rm BC}=\overset{\frown}{\rm EF}\)이다. 그리고 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 중심은 점 \(\rm G\), \(\rm H\)이고 두 호 \(\rm BC\), \(\rm EF\)에 대응하는 각각의 중심각을 각각 각 \(\rm BGC\), 각 \(\rm EHF\)라 하고 각각의 원주각을 각각 각 \(\rm BAC\), 각 \(\rm EDF\)라 하면, \(\angle\rm BGC=\angle\rm EHF\)이고, \(\angle\rm BAC =\angle\rm EDF\)이다.
크기가 같은 두 원들에서 길이가 같은 두 점이 원 위에 있는 선분(현)들은 같은 호를 만들면, 긴 호는 긴 호와 같고, 짧은 호는 짧은 호와 같다.
크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, 각각 두 점이 원 위에 있는 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm DE\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\)이고 두 원 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\) 각각의 중심을 \(\rm K\), \(\rm L\)이라고 하면 이들 현 \(\rm AB\), \(\rm DE\)에 의해 잘린 각각의 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 큰 두 호 \(\rm ACB\), \(\rm DFE\)와 작은 두 호 \(\rm AGB\), \(\rm DHE\)는 \(\overset{\frown}{\rm ACB}=\overset{\frown}{\rm DFE}\), \(\overset{\frown}{\rm AGB}=\overset{\frown}{\rm DHE}\)이다.
크기가 같은 원둘레에 있는 길이가 같은 호들은 같은 길이인 두 점이 원 위에 있는 선분(현)에 대응한다.
크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, 두 호 \(\rm BGC\), \(\rm EHF\)는 각각 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)를 \(\overset{\frown}{\rm BGC}=\overset{\frown}{\rm EHF}\)가 되게 잘랐고, 두 현 \(\rm BC\), \(\rm EF\)를 그리면 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이다.
주어진 원에 대하여, 반원의 내부원주각은 이다. 반원보다 더 큰 활꼴의 내부원주각은 보다 작고, 반원보다 더 작은 활꼴의 내부원주각은 보다 크다. 반원보다 더 큰 활꼴의 각은 보다 크고. 반원보다 더 작은 활꼴의 각은 보다 작다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)는 중심이 \(\rm E\)이며, 지름은 선분 \(\rm BC\)인 원에 대하여, 네 선분 \(\rm BA\), \(\rm AC\), \(\rm AD\), \(\rm DC\)를 그리면 반원 \(\rm BAC\)의 내부원주각 \(\rm BAC\)의 크기는 \(\angle\rm BAC\)이다. 그리고 반원 \(\rm BAC\) 보다 더 큰 활꼴의 내부원주각 \(\rm ABC\)의 크기는 \(\angle\rm ABC<90^\circ\)이고, 반원 보다 더 작은 활꼴의 내부원주각 \(\rm ADC\)의 크기는 \(\angle\rm ADC>90^\circ\)이다. 또한 반원 \(\rm BAC\) 보다 더 큰 활꼴각, 즉, 호 \(\rm ABC\)와 현 \(\rm AC\)가 만드는 각은 \(90^\circ\) 보다 크고, 반원 \(\rm BAC\) 보다 더 작은 활꼴각, 즉, 호 \(\rm ADC\)와 현 \(\rm AC\) 가 만드는 각은 \(90^{\circ}\) 보다 작다.
주어진 원과 그 원에 접하는 직선에 대하여, 이 원과 접선의 접점을 지나는 한 선분이 원을 자른다고 하면, 이 선분이 접선과 만드는 각은 반대쪽 활꼴의 내부원주각의 크기와 같다.
주어진 원 \(\rm ABCD\) 위의 점 \(\rm B\)에서 접하는 직선 \(\rm EF\)에 대하여, 점 \(\rm B\)에서 원 내부를 지나도록 직선을 그리고 그 직선과 원과의 교점을 \(\rm D\)라 하고 선분 \(\rm AD\)를 그어 원을 자르면, 선분 \(\rm BD\)와 접선 \(\rm EF\)가 만드는 각 \(\rm FBD\)은 이 각의 있는 쪽의 원의 반대쪽 활꼴 \(\rm BAD\)의 내부원주각 \(\rm BAD\)의 크기와 같다. 즉, \(\angle\rm FBD=\angle\rm BAD\)이다. 또한 각 \(\rm EBD\)는 이 각이 있는 쪽의 원의 반대쪽 활꼴 \(\rm BCD\)의 내부원주각 \(\rm BCD\)와 같다. 즉, \(\angle\rm EBD=\angle\rm BCD\)이다.
주어진 선분과 주어진 각이 있다. 그 선분에 활꼴을 그려서 그 활꼴의 내부원주각이 주어진 각과 같은 크기가 같도록 작도 할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\)와 두 선분으로 이루어진 주어진 각 \(\rm C\)가 있으면 선분 \(\rm AB\)를 현으로 하는 활꼴의 내부원주각 크기가 각 \(\rm C\)의 크기와 같은 활꼴을 작도 할 수 있다.
주어진 원과 주어진 각에 대하여, 내부 원주각이 주어진 각과 같은 크기가 되는 활꼴을 잘라 낼 수 있다.
주어진 원 \(\rm ABC\)와 두 선분으로 이루어진 주어진 각 \(\angle\rm D\)가 있으러면 원 \(\rm ABC\)에서 \(\angle\rm BAC=\angle\rm D\)인 활꼴 \(\rm BAC\)를 잘라 낼 수 있다.
주어진 원의 두 현이 서로 교차하며 서로 자르면 한 현의 잘려진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이는 나머지 현의 잘려진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)에 대하여 두 현 \(\rm AC\), \(\rm BD\)는 점 \(\rm E\)에서 교차한다. 한 직사각형의 가로 세로 변이 각각 두 선분 \(\rm AE\), \(\rm EC\)이고 다른 직사각형의 가로 세로 변이 각각 \(\rm DE\),\(\rm EB\) 이라고 하면 두 직사각형의 넓이가 같다. 즉, \(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC}=\overline{\rm DE}\times\overline{\rm EB}\)이다.
주어진 원과 원 밖의 한 점에 대하여, 이 점에서 원에 두 직선을 그리고 한 직선은 원을 자르도록 그리며 다른 한 직선은 원에 접하도록 그리면, 원을 자르는 선분의 전체와 원 밖의 점으로부터 그 선분에서 원의 볼록한 둘레의 교점까지의 선분으로 만든 직사각형 넓이와 원 밖의 점에서 접점까지의 선분으로 만든 정사각형의 넓이와 같다.
주어진 원 \(\rm ABC\)의 밖의 점 \(\rm D\)에 대하여, 점 \(\rm D\)에서 두 선분 \(\rm DCA\)와 \(\rm DB\)를 그리고 선분 \(\rm DCA\)는 원 \(\rm ABC\)을 자르고 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)에 접하면, 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DC\)가 각각 가로 세로인 직사각형 넓이와 한 변이 \(\rm DB\)인 정사각형인 넓이와 같다. 즉, \(\overline{\rm AD}\times \overline{\rm DC}={\overline{\rm DB}}^2\)이다.
주어진 원과 원 밖의 점에 대하여, 이 점에서 원에 두 직선을 그리자. 한 직선은 원을 자르도록 그리고 다른 한 직선은 원에 닿도록 그리면 원을 자르는 전체 선분과 원 밖의 볼록한 둘레의 교점까지의 선분으로 만든 직사각형 넓이와 원에 닿은 선분을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같으면 원에 닿은 직선은 원에 접한다.
주어진 원 \(\rm ABC\)의 밖에 점 \(\rm D\)에 대하여, 두 선분 \(\rm DCA\), \(\rm DB\)를 그리고 선분 \(\rm DCa\)는 원 \(\rm ABC\)를 자르게 그리며 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)를 지르지 않고 닿게 그리면 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}={\overline{\rm DB}}^2\)이면 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)에 접한다.
| III권 명제들의 종속 관계 | ||
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| 1, 5 | 10 | |
| 2, 11 | 13 | |
| 14 | 15 | |
| 16 | 17 | |
| 18 | 19 | |
| 21 | 22 | |
| 10, 23 | 24 | |
| 9 | 25 | |
| 24 | 26 | |
| 20 | 27 | |
| 26 | 28 | |
| 27 | 29 | |
| 28 | 30 | |
| 22 | 31 | |
| 19, 22, 31 | 32 | |
| 16, 32 | 33 | |
| 17, 32 | 34 | |
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