증명

---

주어진 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm C\)에서 직선 \(\rm DE\)가 접하고 있고 점 \(\rm C\)에서 직선 \(\rm DE\)에 수직인 직선 \(\rm CA\)를 그리자.

그러면, 원 \(\rm ABC\)의 중심이 직선 \(\rm AC\) 위에 있다는 것을 보이자.

---

선분 \(\rm DE\)가 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm C\)에서 접하고 있다. 점 \(\rm C\)에서 직선 \(\rm DE\)에 수직이 되도록 직선 \(\rm CA\)를 그리자. [I권 명제 11]

원 \(\rm ABC\)의 중심 \(\rm F\)가 직선 \(\rm AC\) 위에 있지 않다고 하자. 선분 \(\rm CF\)를 그리자.

직선 \(\rm DE\)가 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm C\)에서 접하고 있기 때문에 원 \(\rm ABC\)의 중심 \(\rm F\)와 접점 \(\rm C\)를 연결한 선분 \(\rm FC\)는 직선 \(\rm DE\)에 수직이다. 그러므로 \(\angle\rm FCE=90^\circ\)이다. [III권 명제 18]

또한 \(\angle\rm ACE=90^\circ\)이므로 \(\angle\rm FCE=\angle\rm ACE\)이다. 이것은 작은 것이 큰 것과 같으므로 불가능하다. 즉, \(\angle\rm FCE<\angle\rm ACE\)인 것에 모순이다.

같은 방법으로 직선 \(\rm AC\) 위에 있지 않은 어떠한 점도 원의 중심이 될 수 없다.

---

그러므로 주어진 원에 어떤 직선이 접한다고 하고 접점에서 그 접선과 직각이 되도록 직선을 그리면 원의 중심은 그 직선 위에 있다.

Q.E.D.