증명

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주어진 두 원 \(\rm ABDC\), \(\rm EBFD\)에 대하여, 원 \(\rm EBFD\)가 원 \(\rm ABDC\)에 내접한다.

그러면, 원 \(\rm EBFD\)가 원 \(\rm ABDC\)에 한 점 보다 많은 점에서 접할 수 없다는 것을 보이자

주어진 두 원 \(\rm ABDC\), \(\rm ACK\)에 대하여, 원 \(\rm ACK\)가 원 \(\rm ABDC\)에 외접한다.

그러면, 원 \(\rm ACK\)가 원 \(\rm ABDC\)에 한 점 보다 많은 점에서 접할 수 없다는 것을 보이자.

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첫 번째로, 두 원 \(\rm ABCD\)에 원 \(\rm EBFD\)가 두 점 이상의 점에서 내접한다고 그 점을 두 점 \(\rm B\), \(\rm D\)이라고 하자. 그리고 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EBFD\)의 중심을 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)라고 하자. [III권 명제 1]

직선 \(\rm GH\)는 두 점 \(\rm B\), \(\rm D\)를 지나야 한다. [III권 명제 11]

그러므로 두 점 \(\rm B\), \(\rm D\)는 직선 \(\rm BGHD\) 위에 있다.

따라서 점 \(\rm G\)가 원 \(\rm ABCD\)의 중심이고 이므로 \(\overline{\rm BG}=\overline{\rm GD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BH}=\overline{\rm BG}+\overline{\rm GH}>\overline{\rm HD}+\overline{\rm GH}>\overline{\rm HD}\)이다.

다시 점 \(\rm H\)가 원 \(EBFD\)의 중심이므로 \(\overline{\rm BH}=\overline{\rm HD}\)이다. 그러나 큰 것이 작은 것과 같게 된다. 이것은 불가능하다. 즉 \(\overline{\rm BH}>\overline{\rm HD}\)인 것에 모순이다.

두 번째로 두 원 \(\rm ABCD\), \(\rm ACK\)가 두 점 이상에서 외접하고 있다 하고 그 점을 \(\rm A\), \(\rm C\)이라고 하자. 선분 \(\rm AC\)를 그리자.

그러면 임의의 두 점 \(\rm A\), \(\rm C\)가 동시에 두 원 \(\rm ABCD\), \(\rm ACK\)의 원둘레 위에 있기 때문에 현 \(\rm AC\)는 두 원 내부에 놓여 있어야 한다. [III권 명제 2] 그러나 이것은 선분 \(\rm AC\)가 원 \(\rm ABCD\) 내부에 놓이면 선분 \(\rm AC\)는 원 \(\rm ACK\)의 외부에 놓이게 된다. [III권 정의 3] 이것은 불가능하다.

그러므로 두 원이 외접하면 한 점 보다 많은 점에서 외접 할 수 없다.

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그러므로 주어진 두 원에 대하여 한 원이 다른 원과 내접 또는 외접하면, 한 점보다 더 많은 곳에서 접할 수 없다.

Q.E.D.