증명

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크기가 같은 주어진 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 두 중심각 \(\rm BGC\), \(\rm EHF\)는 \(\angle\rm BGC=\angle\rm EHF\)이거나 두 원주각 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\)가 \(\angle\rm BAC=\angle\rm EDF\)이다.

그러면, 이들 중심각과 원주각에 의해 각각 만들어진 두 호 \(\rm BKC\), \(\rm ELF\)는 \(\overset{\frown}{\rm BKC}=\overset{\frown}{\rm ELF}\)인 것을 보이자.

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크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)가 있다. 그리고 두 중심각 \(\rm BGC\), \(\rm EHF\)는 \(\angle\rm BGC=\angle\rm EHF\)이거나 두 원주각 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\)가 \(\angle\rm BAC=\angle\rm EDF\)다.

두 선분 \(\rm BC\), \(\rm EF\)를 그리자. 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)가 서로 같으므로 두 원의 반지름도 같다. 그러므로 \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm GC}=\overline{\rm HF}\)이다. 그리고 두 점 \(\rm G\), \(\rm H\)는 \(\rm G=\rm H\)이므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이다. [I권 명제 4]

그리고 \(\angle\rm A=\angle\rm D\)이므로 두 활꼴 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\)는 닮음이다. [III권 정의 11] 그러므로 대응하는 선분과 호의 길이도 같다.

그런데 길이가 같은 선분과 호로 닮음인 활꼴을 그리면 그러한 두 활꼴은 서로 같다. [III권 명제 24] 그러므로 두 활꼴 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)는 같다. 따라서 두 호 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)는 \(\overset{\frown}{\rm ABC}=\overset{\frown}{\rm DEF}\)이다.

그러므로 \(\bigcirc\rm ABC =\bigcirc\rm DEF \)

\(\bigcirc\rm ABC -\overset{\frown}{\rm ABC}=\bigcirc\rm DEF -\overset{\frown}{\rm DEF}\)

\(\overset{\frown}{\rm BKC}=\overset{\frown}{\rm ELF}\)

이다.

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그러므로 크기가 같은 주어진 원들에서 크기가 같은 각들은 길이가 같은 호들에 대응하면, 중심에 있는 각(중심각)은 중심에 있는 각끼리, 원둘레에 있는 각(원주각)은 원둘레에 있는 각끼리 같은 호를 갖는다.

Q.E.D.