증명

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주어진 원 \(\rm ABC\)의 중심 \(\rm E\)를 지나는 선분 \(\rm CD\)는 중심을 지나지 않는 선분(현) \(\rm AB\)를 이등분한다.

그러면, 선분 \(\rm CD\)와 선분(현) \(\rm AB\)는 수직이고, 선분 \(\rm CD\)가 선분(현) \(\rm AB\)를 수직으로 자르면 선분 \(\rm CD\)는 선분(현) \(\rm AB\)를 이등분된다는 것을 보이자.

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원 \(\rm ABC\)의 중심을 지나는 직선 \(\rm CD\)와 중심을 지나지 않는 현 \(\rm AB\)가 있다고 하자.

첫째로, 직선 \(\rm CD\)가 현 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm F\)에서 이등분한다고 하자. 그러면 직선 \(\rm CD\)가 현 \(\rm AB\)를 점 \(\rm F\)에서 수직으로 자른다는 것을 보이자.

원 \(\rm AB\)의 중심을 점 \(\rm E\)라 하고, 두 선분 \(\rm EA\), \(\rm EB\)를 그리자. [I권 명제 1]

그러면 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm BF}\)이고 \(\overline{\rm FE}\)가 공통이며 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm EB}\)(반지름)이므로 두 삼각형 \(\rm AFE\)와 \(\rm BFE\)는 합동이다.(\(\triangle \rm AFE \equiv \triangle \rm BFE\), SSS합동)이다. [I권 정의 15, 명제 8]

그런데 직선의 한 점에서 다른 어떤 직선을 세웠을 때 이웃한 각들의 크기가 같으면, 그 두 각은 모두 직각이다. 그러므로 \(\angle\rm AFE = \angle\rm BFE =90^{\circ}\)이다. [I권 정의 10]

따라서 직선 \(\rm CD\)가 중심을 지나지 않는 현 \(\rm AB\)를 이등분할 때, 직선 \(\rm CD\)는 현 \(\rm AB\)를 수직으로 자른다.

두번째로, 직선 \(\rm CD\)가 현 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm F\)에서 현 \(\rm AB\)를 수직으로 자른다고 하자. 그러면 직선 \(\rm CD\)가 현 \(\rm AB\)를 점 \(\rm F\)에서 이등분한다는 것을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm BF}\)임을 보이자.

위의 같은 방법으로 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm EB}\)(반지름)이므로 \(\angle\rm EAF = \angle\rm EBF\)이다. [1권 정리5]

또한 \(\angle\rm AFE = \angle\rm BFE =90^{\circ}\)이므로 두 삼각형 \(\rm AFE\)와 \(\rm BFE\)는 합동이다.(\(\triangle \rm AFE \equiv \triangle \rm BFE \), ASA합동)이다.

따라서 합동인 두 삼각형의 남은 대응하는 두 변은 같으므로 따라서 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm BF}\)이다. [I권 명제 26]

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그러므로 주어진 원의 중심을 지나는 직선이 중심을 지나지 않는 선분(현)을 이등분 하면, 직선은 선분(현)을 수직으로 자른다. 또한 직선이 선분(현)을 수직으로 자르면 그 선분(현)은 직선에 의해 이등분된다.

Q.E.D.