증명

---

주어진 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 중심 $\mathrm{E}$를 지나는 선분 $\mathrm{C}\mathrm{D}$는 중심을 지나지 않는 선분(현) $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 이등분한다.

그러면, 선분 $\mathrm{C}\mathrm{D}$와 선분(현) $\mathrm{A}\mathrm{B}$는 수직이고, 선분 $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 선분(현) $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 수직으로 자르면 선분 $\mathrm{C}\mathrm{D}$는 선분(현) $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 이등분된다는 것을 보이자.

---

원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 중심을 지나는 직선 $\mathrm{C}\mathrm{D}$와 중심을 지나지 않는 현 $\mathrm{A}\mathrm{B}$가 있다고 하자.

첫째로, 직선 $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 현 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ 위의 점 $\mathrm{F}$에서 이등분한다고 하자. 그러면 직선 $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 현 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 점 $\mathrm{F}$에서 수직으로 자른다는 것을 보이자.

원 $\mathrm{A}\mathrm{B}$의 중심을 점 $\mathrm{E}$라 하고, 두 선분 $\mathrm{E}\mathrm{A}$, $\mathrm{E}\mathrm{B}$를 그리자. [I권 명제 1]

그러면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{F}}$이고 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{E}}$가 공통이며 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$(반지름)이므로 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{F}\mathrm{E}$와 $\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{E}$는 합동이다.($\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{F}\mathrm{E}\equiv \mathrm{△}\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{E}$, SSS합동)이다. [I권 정의 15, 명제 8]

그런데 직선의 한 점에서 다른 어떤 직선을 세웠을 때 이웃한 각들의 크기가 같으면, 그 두 각은 모두 직각이다. 그러므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{F}\mathrm{E}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{E}={90}^{\circ }$이다. [I권 정의 10]

따라서 직선 $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 중심을 지나지 않는 현 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 이등분할 때, 직선 $\mathrm{C}\mathrm{D}$는 현 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 수직으로 자른다.

두번째로, 직선 $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 현 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ 위의 점 $\mathrm{F}$에서 현 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 수직으로 자른다고 하자. 그러면 직선 $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 현 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 점 $\mathrm{F}$에서 이등분한다는 것을 보이자. 즉, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{F}}$임을 보이자.

위의 같은 방법으로 작도하자. 그러면 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$(반지름)이므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{A}\mathrm{F}=\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{B}\mathrm{F}$이다. [1권 정리5]

또한 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{F}\mathrm{E}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{E}={90}^{\circ }$이므로 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{F}\mathrm{E}$와 $\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{E}$는 합동이다.($\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{F}\mathrm{E}\equiv \mathrm{△}\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{E}$, ASA합동)이다.

따라서 합동인 두 삼각형의 남은 대응하는 두 변은 같으므로 따라서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{F}}$이다. [I권 명제 26]

---

그러므로 주어진 원의 중심을 지나는 직선이 중심을 지나지 않는 선분(현)을 이등분 하면, 직선은 선분(현)을 수직으로 자른다. 또한 직선이 선분(현)을 수직으로 자르면 그 선분(현)은 직선에 의해 이등분된다.

Q.E.D.