증명

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주어진 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$는 지름이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$이고 중심이 $\mathrm{E}$이다. 중심으로 부터 거리는 두 점이 원 위에 있는 선분(현) $\mathrm{B}\mathrm{C}$가 선분(현) $\mathrm{F}\mathrm{G}$ 보다 더 가까이 있다.

그러면, 선분(현)의 길이는 지름 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$가 가장 크고 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}>\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$임을 보이자.

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주어진 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$는 지름이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$이고 중심이 $\mathrm{E}$이다. 중심으로 부터 거리는 현 $\mathrm{B}\mathrm{C}$가 현 $\mathrm{F}\mathrm{G}$ 보다 더 가까이 있다.

원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$는 지름이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$이고 중심이 $\mathrm{E}$이다. 중심으로 부터 거리는 현 $\mathrm{B}\mathrm{C}$가 현 $\mathrm{F}\mathrm{G}$ 보다 더 가까이 있다.

중심 $\mathrm{E}$로 부터 두 현 $\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{F}\mathrm{G}$에 각각 수직인 두 선분 $\mathrm{E}\mathrm{H}$, $\mathrm{E}\mathrm{K}$를 그리자. [I권 명제 12]

그러면 현 $\mathrm{B}\mathrm{C}$가 현 $\mathrm{F}\mathrm{G}$ 보다 중심으로 부터 거리가 더 가까이 있으므로 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{K}}>\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$이다. [III권 정의 5]

$\overline{\mathrm{E}\mathrm{L}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}$가 되도록 선분 $\mathrm{E}\mathrm{K}$ 위에 점 $\mathrm{L}$을 잡자. 선분 $\mathrm{E}\mathrm{K}$에 수직이고 점 $\mathrm{L}$을 지나는 직선을 그어 원과의 두 교점을 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$이라고 하자. 네 선분 $\mathrm{M}\mathrm{E}$, $\mathrm{E}\mathrm{N}$, $\mathrm{F}\mathrm{E}$, $\mathrm{E}\mathrm{G}$를 그리자. [I권 명제 3, 명제 11]

그러면 $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{L}}$이므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}$이다. [III권 명제 4]

다시, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{M}}$(반지름), $\overline{\mathrm{E}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}$(반지름)이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{M}\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}$이다.

그러나 $\overline{\mathrm{M}\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}>\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}$, $\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}>\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$이다. [I권 명제 20]

그리고 $\overline{\mathrm{M}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}$, $\overline{\mathrm{F}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{G}}$, $\mathrm{\angle }\mathrm{M}\mathrm{E}\mathrm{N}>\mathrm{\angle }\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{G}$이므로 $\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}>\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$이다. [I권 명제 24]

$\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 이미 증명되었다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$(지름)$>\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}>\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$이다.

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그러므로 주어진 원 위의 두 점이 있는 선분(현)들 중에서 지름이 가장 길다. 두 점이 원 위에 있는 나머지 선분(현)들은 원의 중심으로 부터 가까울수록 중심에서 먼 선분(현)보다 길이가 더 길다.

Q.E.D.