증명

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주어진 원 \(\rm ABCD\)는 지름이 \(\overline{\rm AD}\)이고 중심이 \(\rm E\)이다. 중심으로 부터 거리는 두 점이 원 위에 있는 선분(현) \(\rm BC\)가 선분(현) \(\rm FG\) 보다 더 가까이 있다.

그러면, 선분(현)의 길이는 지름 \(\overline{\rm AD}\)가 가장 크고 \(\overline{\rm BC}>\overline{\rm FG}\)임을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABCD\)는 지름이 \(\overline{\rm AD}\)이고 중심이 \(\rm E\)이다. 중심으로 부터 거리는 현 \(\rm BC\)가 현 \(\rm FG\) 보다 더 가까이 있다.

원 \(\rm ABCD\)는 지름이 \(\overline{\rm AD}\)이고 중심이 \(\rm E\)이다. 중심으로 부터 거리는 현 \(\rm BC\)가 현 \(\rm FG\) 보다 더 가까이 있다.

중심 \(\rm E\)로 부터 두 현 \(\rm BC\), \(\rm FG\)에 각각 수직인 두 선분 \(\rm EH\), \(\rm EK\)를 그리자. [I권 명제 12]

그러면 현 \(\rm BC\)가 현 \(\rm FG\) 보다 중심으로 부터 거리가 더 가까이 있으므로 \(\overline{\rm EK}>\overline{\rm EH}\)이다. [III권 정의 5]

\(\overline{\rm EL}=\overline{\rm EH}\)가 되도록 선분 \(\rm EK\) 위에 점 \(\rm L\)을 잡자. 선분 \(\rm EK\)에 수직이고 점 \(\rm L\)을 지나는 직선을 그어 원과의 두 교점을 \(\rm M\), \(\rm N\)이라고 하자. 네 선분 \(\rm ME\), \(\rm EN\), \(\rm FE\), \(\rm EG\)를 그리자. [I권 명제 3, 명제 11]

그러면 \(\overline{\rm EH}=\overline{\rm EL}\)이므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm MN}\)이다. [III권 명제 4]

다시, \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EM}\)(반지름), \(\overline{\rm ED}=\overline{\rm EN}\)(반지름)이므로 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm ME}+\overline{\rm EN}\)이다.

그러나 \(\overline{\rm ME}+\overline{\rm EN}>\overline{\rm MN}\), \(\overline{\rm MN}=\overline{\rm BC}\)이므로 \(\overline{\rm AD}>\overline{\rm BC}\)이다. [I권 명제 20]

그리고 \(\overline{\rm ME}=\overline{\rm EN}\), \(\overline{\rm FE}=\overline{\rm EG}\), \(\angle{\rm MEN}>\angle{\rm FEG}\)이므로 \(\overline{\rm MN}>\overline{\rm FG}\)이다. [I권 명제 24]

\(\overline{\rm MN}=\overline{\rm BC}\)는 이미 증명되었다. 그러므로 \(\overline{\rm AD}\)(지름)\(>\overline{\rm BC}>\overline{\rm FG}\)이다.

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그러므로 주어진 원 위의 두 점이 있는 선분(현)들 중에서 지름이 가장 길다. 두 점이 원 위에 있는 나머지 선분(현)들은 원의 중심으로 부터 가까울수록 중심에서 먼 선분(현)보다 길이가 더 길다.

Q.E.D.