증명

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주어진 선분 \(\rm AB\)와 두 선분으로 이루어진 주어진 각 \(\rm C\)가 있다.

그러면, 선분 \(\rm AB\)를 현으로 하는 활꼴의 내부원주각 크기가 각 \(\rm C\)의 크기와 같은 활꼴을 작도 할 수 있음을 보이자.

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주어진 선분 \(\rm AB\)와 두 선분으로 이루어진 주어진 각 \(\rm C\)가 있다.

각 \(\rm C\)의 예각 즉, \(0^\circ < \angle\rm C < 90^\circ\)일 수도 있고, 직각 즉, \(\angle\rm C = 90^\circ\)일 수도 있고, 둔각 즉, \(90^\circ<\angle\rm C < 180^\circ\)일 수도 있다. 증명은 세 부분으로 나누어서 증명을 하자.

(1) \(\rm C\)가 예각이라고 하자. 즉, \(0^\circ < \angle\rm C < 90^\circ\)라고 하자.

첫 번째 그림처럼 선분 \(\rm AB\)의 한 끝 점 \(\rm A\)에서 \(\angle\rm BAD=\angle\rm C\)가 되도록 작도하자. [I권 명제 23] 그러면 각 \(\angle\rm BAD\) 역시 예각으로 \(0^\circ < \angle BAD < 90^\circ\)이다.

점 \(\rm A\)에서 직선 \(\rm AB\)에 수직이 되도록 직선 \(rm AD\)를 그리자. 선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm F\)라 하자. 점 \(\rm F\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 직선을 그리고 선분 \(\rm AE\)와 교점을 \(\rm G\)라 하고 선분 \(\rm GF\)를 그리자. [I권 명제 10, 명제 12]

그러면 두 삼각형 \(\rm GAF\), \(\rm GBF\)는 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm FB}\), \(\overline{\rm FG}\)는 공통, \(\angle\rm AFG=\angle\rm BFG=90^\circ\) 이므로 합동(SAS 합동)이다. 따라서 나머지 변인 \(\rm AG\), \(\rm BG\)는 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm BG}\)이다. [I권 명제 4]

따라서 중심을 점 \(\rm G\)로 반지름을 \(\overline{\rm GA}\)로 하는 원을 그리면 그 원은 점 \(\rm B\)를 지난다.

이 원을 원 \(\rm ABE\)라 하고, 선분 \(\rm EB\)를 그리자. 선분 \(\rm AD\)는 지름인 선분 \(\rm AE\)의 한 끝 점 \(\rm A\)에서 직선 \(\rm AE\)에 수직이 되도록 그렸다. 그러므로 직선 \(\rm AD\)는 원 \(\rm ABE\)에 접한다. [III권 명제 16 따름 정리]

직선 \(\rm AD\)가 원 \(\rm ABE\)에 접하고, 접점 \(\rm A\)에서 그은 선분 \(\rm AB\)는 원 안쪽에서 그려진 선분이기 때문에 각 \(\rm DAB\)와 반대쪽 활꼴의 내부원주각 \(\rm AEB\)는 \(\angle\rm DAB=\angle\rm AEB\)이다. [III권 명제 32]

그러나 \(\angle\rm DAB=\angle\rm C\)이기 때문에 \(\angle\rm AEB=\angle\rm C\)이다.

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(2) 각 \(\rm C\)가 직각이라고 하자. 즉, \(\angle\rm C=90^\circ\)이라고 하자.

선분 \(\rm AB\)에 활꼴의 내부원주각과 각 \(\angle\rm C\)와 크기가 같은 활꼴을 작도 할 수 있음을 보이자.

두 번째 그림처럼 각 \(\rm BAD\)를 \(\angle\rm BAD=\angle\rm C=90^\circ\)가 되도록 작도하자. 선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm F\)라 하자. 중심이 \(\rm F\)이고, 반지름이 \(\overline{\rm FA}\left(=\overline{\rm FB}\right)\)인 원 \(\rm AEB\)를 작도하자. [I권 명제 23, 명제 10]

그러면 \(\angle\rm BAD=90^\circ\)이기 때문에 직선 \(\rm AD\)는 원 \(\rm ABE\)에 접한다. [III권 명제 16 따름 정리]

그리고 각 \(\rm AEB\)는 반원에 대응하는 내부원주각으로 \(\angle\rm AEB=90^\circ\)이다. 따라서 각 \(\rm BAE\)와 반원의 활꼴의 내부원주각 \(\rm AEB\)는 \(\angle\rm BAD=angle\rm AEB\)이다. [III권 명제 31] 그런데 이므로 이다.

각 \(\rm C\)가 둔각이라고 하자. 즉, \(90^\circ<\angle\rm C < 180^\circ\)이라고 하자.

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세 번째 그림처럼, 직선 \(\rm AB\)의 한 끝 점 \(\rm A\)에서 \(\angle\rm BAD=\angle\rm C\)가 되도록 각 \(\rm BAD\)를 작도하자. 점 \(\rm A\)에서 직선 \(\rm AD\)에 수직이 되도록 직선 \(\rm AE\)를 그리자.

선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm F\)라 하자. 점 \(\rm F\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 직선을 그어 선분 \(\rm AE\)와의 교점을 \(\rm G\)라 하자. 두 선분 \(\rm FG\), \(\rm BG\)를 그리자. [I권 명제 23, 명제 11, 명제 12]

그러면 두 삼각형 \(\rm GAF\), \(\rm GBF\)는 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm FB}\), \(\overline{\rm FG}\)는 공통, \(\angle\rm AFG=\angle\rm BFG\)이므로 합동(SAS 합동)이다. 따라서 나머지 변 \(\rm AG\), \(\rm BG\)는 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm BG}\)이다. [I권 명제 4]

그러므로 중심이 점 \(\rm G\)이고, 반지름이 \(\overline{\rm GA}\)인 원은 점 \(\rm B\)를 지난다. 그 원을 \(\rm AEB\)라고 하자.

그리고 직선 \(\rm AD\)는 지름인 선분 \(\rm AE\)의 한 끝 점 \(\rm A\)에서 수직이 되도록 그은 직선이다. 그러므로 직선 \(\rm AD\)는 원 \(\rm AEB\)에 접한다. [III권 명제 16 따름 정리]

그리고 선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm A\)에서 원 안쪽에 그려진 선분이다. 따라서 각 \(\rm BAD\)와 반대쪽 활꼴의 내부원주각 \(\rm AHB\)는 \(\angle\rm BAD=\angle\rm AHB\)이다. [III권 명제 32]

그러데 \(\angle\rm BAD=\angle\rm C\)이다.

따라서 \(\angle\rm AHB=\angle\rm C\)이다.

(1), (2), (3)에 의해서 주어진 선분 \(\rm AB\)와 두 선분으로 이루어진 주어진 각 \(\rm C\)에 대하여 선분 \(\rm AB\)를 현으로 하는 활꼴의 내부원주각 크기가 각 \(\angle\rm C\)의 크기와 같은 활꼴을 작도하였다.

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그러므로 주어진 선분과 주어진 각이 있다. 그 선분에 활꼴을 그려서 그 활꼴의 내부원주각이 주어진 각과 같은 크기가 같도록 작도 할 수 있다.

Q.E.D.