증명

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크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, 각각 두 점이 원 위에 있는 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm DE\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\)이고 두 원 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\) 각각의 중심을 \(\rm K\), \(\rm L\)이라고 하자.

그러면, 현 \(\rm AB\), \(\rm DE\)에 의해 잘린 각각의 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 큰 두 호 \(\rm ACB\), \(\rm DFE\)와 작은 두 호 \(\rm AGB\), \(\rm DHE\)는 \(\overset{\frown}{\rm ACB}=\overset{\frown}{\rm DFE}\), \(\overset{\frown}{\rm AGB}=\overset{\frown}{\rm DHE}\)임을 보이자.

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크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, 각각의 현 \(\rm AB\), \(\rm DE\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\)이다. 그리고 두 원 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\) 각각의 중심을 \(\rm K\), \(\rm L\)이라고 하자.

그러면 이들 현 \(\rm AB\), \(\rm DE\)에 의해 잘린 각각의 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 큰 두 호 \(\rm ACB\), \(\rm DFE\)와 작은 두 호 \(\rm AGB\), \(\rm DHE\)는 \(\overset{\frown}{\rm ACB}=\overset{\frown}{\rm DFE}\), \(\overset{\frown}{\rm AGB}=\overset{\frown}{\rm DHE}\)임을 보이자.

두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\) 각각의 중심 \(\rm K\), \(\rm L\)로 부터 네 선분 \(\rm AK\), \(\rm KB\), \(\rm DL\), \(\rm LE\)를 그리자. [III권 명제 1]

두 원의 크기가 같기 때문에 반지름도 같다. 그러므로 두 감각형 \(\rm KAB\), \(\rm LDE\)는 \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm DL}\), \(\overline{\rm KB}=\overline{\rm LE}\)이고 \(\angle\rm AKB = \angle\rm DLE\)이므로 합동(SAS 합동)이다. 따라서 나머지 대응하는 두 변(현) \(\rm AB\), \(\rm DE\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\)이다. [I권 명제 18]

그러나 크기가 같은 두 원에서 두 원의 각각의 중심각이 같으면 이에 대응하는 두 호의 길이도 같다. 따라서 작은 두 호 \(\rm AGB\), \(\rm DHE\)의 길이도 같아 \(\overset{\frown}{\rm AGB}=\overset{\frown}{\rm DHE}\)이다. [III권 명제 26]

그리고 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 크기가 같다. 따라서

\(\bigcirc \rm ABC = \bigcirc DEF\)

\(\bigcirc \rm ABC - \overset{\frown}{\rm AGB}= \bigcirc DEF - \overset{\frown}{\rm DHE}\)

\(\overset{\frown}{\rm ACB}=\overset{\frown}{\rm DFE}\)

이다. 그러므로 두 큰 호 \(\rm ACB\), \(\rm DFE\)의 길이도 같다.

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그러므로 크기가 같은 두 원들에서 길이가 같은 두 점이 원 위에 있는 선분(현)들은 같은 호를 만들면, 긴 호는 긴 호와 같고, 짧은 호는 짧은 호와 같다.

Q.E.D.