증명

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주어진 원 \(\rm ABCD\)에 대하여 두 현 \(\rm AC\), \(\rm BD\)는 점 \(\rm E\)에서 교차한다. 한 직사각형의 가로 세로 변이 각각 두 선분 \(\rm AE\), \(\rm EC\)이고 다른 직사각형의 가로 세로 변이 각각 \(\rm DE\),\(\rm EB\) 이라고 하자.

그러면 두 직사각형의 넓이가 같음을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC}=\overline{\rm DE}\times\overline{\rm EB}\)임을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABCD\)에 대하여 두 현 \(\rm AC\), \(\rm BD\)는 점 \(\rm E\)에서 교차한다. 한 직사각형의 가로 세로 변이 각각 두 선분 \(\rm AE\), \(\rm EC\)이고 다른 직사각형의 가로 세로 변이 각각 \(\rm DE\),\(\rm EB\) 이라고 하자.

(1) 두 현 \(\rm AC\), \(\rm DB\) 모두 원의 중심을 지난다고 하자.

그러면 두 현의 교점 \(\rm E\)는 원의 중심이므로 네 선분 \(\rm AE\), \(\rm EC\), \(\rm DE\), \(\rm EB\) 모두 그 길이가 반지름으로 같아 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EC}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EB}\)이다. 따라서 \(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC}=\overline{\rm DE}\times\overline{\rm EB}\)이다.

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(2) 다음으로 두 현 \(\rm AC\), \(\rm DB\)가 원의 중심을 지나지 않는다고 하자.

원 \(\rm ABCD\)의 중심을 \(\rm F\)라고 하자. 중심 \(\rm F\)로 부터 두 현 \(\rm AC\), \(\rm DB\)의 수선의 발을 각각 점 \(\rm G\), 점 \(\rm H\)라 하자. 두 선분 \(\rm FG\), \(\rm FH\)를 그리자. 또한 세 선분 \(\rm FB\), \(\rm FC\), \(\rm FE\)를 그리자. [III권 명제 1, I권 명제 12]

그러면 중심을 지나는 선분 \(\rm GF\)는 중심을 지나지 않는 현 \(\rm AC\)를 점 \(\rm G\)에서 수직으로 자르기 때문에 현 \(\rm AC\)는 점 \(\rm G\)에 의해서 이등분된다. 즉, \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm GC}\)이다. [III권 명제 3]

점 \(\rm G\)는 현 \(\rm AC\)를 길이가 같은 두 선분으로 이등분하고, 점 \(\rm E\)는 현 \(\rm AC\)를 길이가 다르게 두 선분으로 자른다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC}+{\overline{\rm EG}}^2={\overline{\rm CG}}^2\)이다. [II권 명제 5] --- ①

식 ①의 양변에 각각 \({\overline{\rm GF}}^2\)을 더하자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC}+{\overline{\rm EG}}^2 + {\overline{\rm GF}}^2={\overline{\rm CG}}^2 + {\overline{\rm GF}}^2\)이다. --- ②

삼각형 \(\rm FGE\)는 \(\angle\rm FGE=90^\circ\)인 직각삼각형이므로 \({\overline{\rm FE}}^2={\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm FG}}^2\)이고, --- ③

삼각형 \(\rm FGC\)는 \(\angle\rm FGC=90^\circ\)인 직각삼각형이므로 \({\overline{\rm FC}}^2={\overline{\rm CG}}^2+{\overline{\rm FG}}^2\)이다. --- ④

그리고 두 선분 \(\rm FC\), \(\rm FB\)의 길이는 반지름으로 같아 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm FB}\)이다. 따라서 식 ⑤는 \(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC} + {\overline{\rm EF}}^2 = {\overline{\rm FB}}^2\)이다. --- ⑥

같은 방법으로 역시, \(\overline{\rm DE}\times\overline{\rm EB} + {\overline{\rm FE}}^2 = {\overline{\rm FB}}^2\)이다. --- ⑦

식 ⑥과 식 ⑦에 의해서 \(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC} + {\overline{\rm EF}}^2 = \overline{\rm DE}\times\overline{\rm EB} + {\overline{\rm FE}}^2\)이다. --- ⑧

식 ⑧의 양변에 각각 \({\overline{\rm EF}}^2\)을 빼자. 그러면

\(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC} + {\overline{\rm EF}}^2 - {\overline{\rm EF}}^2= \overline{\rm DE}\times\overline{\rm EB} + {\overline{\rm FE}}^2-{\overline{\rm EF}}^2\)

\(\overline{\rm AE}\times\overline{\rm EC}=\overline{\rm DE}\times\overline{\rm EB}\)

이다.

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그러므로 주어진 원의 두 현이 서로 교차하며 서로 자르면 한 현의 잘려진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이는 나머지 현의 잘려진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같다.

Q.E.D.