증명

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주어진 호 \(\rm ADB\)가 있다.

그러면 호 \(\rm ADB\)가 이등분됨을 보이자.

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주어진 호 \(\rm ADB\)가 있다.

선분(현) \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\)라고 하자. 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm AB\)와 수직인 직선과 호 \(\rm ADB\)가 만나는 교점을 \(\rm D\)라 하자. 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)를 그리자. [I권 명제 10, 명제 11]

그러면 두 삼각형 \(\rm DAC\), \(\rm DBC\)는 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 공통이고, \(\angle\rm ACD =\angle\rm BCD=90^\circ\)이어서 합동(SAS 합동)이다. 따라서 나머지 대응하는 두 변 \(\rm AD\), \(\rm DB\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DB}\)이다. [I권 명제 4]

크기가 같은 두 원에 대하여 같은 길이의 현에 대응하는 호의 길이는 큰 호는 큰 호끼리, 작은 호는 작은 호끼리 그 길이가 각각 같다. 그러므로 두 호 \(\rm AD\), \(\rm DB\)는 둘 다 반원 보다 작은 호이며 \(\overset{\frown}{\rm AD}=\overset{\frown}{\rm DB}\)이다. [III권 명제 28]

따라서 주어진 호 \(\rm ADB\)는 점 \(\rm D\)에 의해서 이등분되었다.

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그러므로 주어진 호를 이등분할 수 있다.

Q.E.D.