증명

---

주어진 원 \(\rm ABDC\)에 대하여, 두 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 길이가 같다.

그러면, 원의 중심으로 부터 각각 두 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 각각의 중점까지 거리가 같다는 것을 보이자.

또한, 원의 중심으로 부터 각각 두 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 중점까지 거리가 같다.

그러면, 두 선분(현) \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 길이가 같다는 것을 보이자.

---

첫 번째로 원 \(\rm ABDC\)의 두 현 \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 길이가 같다고 즉, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)라 하자. 그러면 원의 중심으로 부터 두 현 \(\rm AB\), \(\rm CD\)까지의 거리가 같음을 보이자.

원 \(\rm ABDC\)의 중심을 \(\rm E\)라 하자. 점 \(\rm E\)로 부터 두 현 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 내린 수선읠 발을 각각 점 \(\rm F\), \(\rm G\)라하고 두 현 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 각각 수직인 선분 \(\), 를 그리고, 두 선분 , 를 그리자. [III권 명제 1, I권 명제 12]

그러면 중심을 지나는 선분 \(\rm EF\)는 중심을 지나지 않는 현 \(\rm AB\)를 점 \(\rm F\)에서 수직으로 자르므로 점 \(\rm F\)는 현 \(\rm F\)를 이등분한다. 즉, 점 \(\rm F\)는 현 \(\rm AB\)의 중점이다.

따라서 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm FB}\)이므로 \(\overline{\rm AB}=2 \cdot \overline{\rm AF}\)이다. [III권 명제 3]

비슷한 이유에 의해서, \(\overline{\rm CD}=2 \cdot \overline{\rm CG}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)이므로

\(2\cdot \overline{\rm AF}=\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}=2 \cdot \overline{\rm CG}\)

\(\overline{\rm AF}=\overline{\rm CG}\)

이다.

\(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EC}\)이므로 \({\overline{\rm AE}}^2={\overline{\rm EC}}^2\)이다.

그런데 \({\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm EF}}^2={\overline{\rm AE}}^2\)이므로 \(\angle\rm AFE=90^\circ\)이고, 또한 \({\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GC}}^2={\overline{\rm EC}}^2\)이므로 \(\angle\rm CGE=90^\circ\)이다.

또한 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm CG}\)이므로 \({\overline{\rm AF}}^2={\overline{\rm CG}}^2\)이다.

따라서

\({\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm FE}}^2={\overline{\rm CG}}^2+{\overline{\rm GE}}^2\)

\({\overline{\rm FE}}^2={\overline{\rm GE}}^2\)

\(\overline{\rm FE}=\overline{\rm GE}\)

이다. [I권 명제 47]

그런데 원의 중심으로 부터 현에 수직으로 내린 수선의 발까지 거리가 같으면 원의 두 현은 원의 중심으로 부터 떨어진 거리가 같다. [III권 정의 4]

따라서 두 현 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 윈의 중심으로 부터 떨어진 거리가 같다.

두 번째로 원의 중심으로부터 두 현 \(\rm AB\), \(\rm CD\)의 각각의 중심까지의 거리가 같으면 즉, \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm EG}\)이면, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)임을 보이자.

같은 작도를 하자. 앞에서 보였던 것 처럼 \(\overline{\rm AB}=2 \cdot \overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm CD}=2 \cdot \overline{\rm CG}\)이다.

\(\overline{\rm AE}=\overline{\rm CE}\)이므로 \({\overline{\rm AE}}^2={\overline{\rm CE}}^2\)이다. 또한 \({\overline{\rm EF}}^2+{\overline{\rm FA}}^2 = {\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GC}}^2 = {\overline{\rm CE}}^2\)이다.

그러므로

\({\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm FA}}^2={\overline{\rm AE}}^2={\overline{\rm CE}}^2={\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GC}}^2\)

\({\overline{\rm EF}}^2+{\overline{\rm FA}}^2={\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GC}}^2\)

이다.

그런데 \({\overline{\rm EF}}^2={\overline{\rm EG}}^2\)이므로

\({\overline{\rm FA}}^2={\overline{\rm CG}}^2\)

\(\overline{\rm FA}=\overline{\rm CG}\)

이다.

\(\overline{\rm AB}=2 \cdot \overline{\rm AF}\)이고 \(\overline{\rm CD}=2 \cdot \overline{\rm CG}\)이므로

\(\overline{\rm AB}=2 \cdot \overline{\rm AF}=2 \cdot \overline{\rm CG}=\overline{\rm CD}\)

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)

이다.

---

그러므로 주어진 원에서 두 점이 원 위에 있는 길이가 같은 선분(현)들은 중심으로 부터의 거리는 같고 원 중심에서 같은 거리에 있는 선분(현)들의 길이도 같다.

Q.E.D.