증명

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크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, 두 호 \(\rm BGC\), \(\rm EHF\)는 각각 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)를 \(\overset{\frown}{\rm BGC}=\overset{\frown}{\rm EHF}\)가 되게 잘랐고, 두 현 \(\rm BC\), \(\rm EF\)를 그리자.

그러면, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\) 임을 보이자.

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크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)가 있다. 두 호 \(\rm BGC\), \(\rm EHF\)는 각각 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)를 \(\overset{\frown}{\rm BGC}=\overset{\frown}{\rm EHF}\)가 되게 잘랐고, 두 현 \(\rm BC\), \(\rm EF\)를 그리자.

그러면 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)임을 보이자.

두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 중심을 각각 \(\rm K\), \(\rm L\)이라고 하자. 네 선분 \(\rm BK\), \(\rm KC\), \(\rm EL\), \(\rm LF\)를 그리자. [III권 명제 1]

\(\overset{\frown}{\rm BGC}=\overset{\frown}{\rm EHF}\)이므로 \(\angle\rm BKC =\angle\rm ELF\)이다. [III권 명제 27]

그리고 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 크기가 같으므로 반지름도 역시 같다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm KBC\), \(\rm LEF\)는 \(\overline{\rm BK}=\overline{\rm EL}\), \(\overline{\rm KC}=\overline{\rm LF}\)이고, \(\angle\rm K = \angle\rm L\)이므로 합동(SAS 합동)이다. 따라서 나머지 대응하는 두 변 \(\rm BC\), \(\rm EF\)도 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\)이다. [I권 명제 4]

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그러므로 크기가 같은 원둘레에 있는 길이가 같은 호들은 같은 길이인 두 점이 원 위에 있는 선분(현)에 대응한다.

Q.E.D.