증명

주어진 원 \(\rm ABC\)의 밖에 점 \(\rm D\)가 있다. 두 선분 \(\rm DCA\), \(\rm DB\)를 그리자. 선분 \(\rm DCa\)는 원 \(\rm ABC\)를 자르게 그리고, 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)를 지르지 않고 닿게 그리자.

그러면 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}={\overline{\rm DB}}^2\)이면 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)에 접함을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABC\)의 밖에 점 \(\rm D\)가 있다. 두 선분 \(\rm DCA\), \(\rm DB\)를 그리자. 선분 \(\rm DCa\)는 원 \(\rm ABC\)를 자르게 그리고, 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)를 지르지 않고 닿게 그리자.

원 \(\rm ABC\)에 접하도록 선분 \(\rm DE\)를 그리자. 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm F\)라고 하고, 세 선분 \(\rm FE\), \(\rm FB\), \(\rm FD\)를 그리자. [III권 명제 17, 명제 1]

그러면 \(\angle\rm FED=90^\circ\)이다. [III권 명제 18]

선분 \(\rm DE\)가 원 \(\rm ABC\)에 접하고 선분 \(\rm DCA\)가 원 \(\rm ABC\)를 자르기 때문에 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}={\overline{\rm DE}}^2\)이다. [III권 명제 36]

그러나 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}={\overline{\rm DB}}^2\)이기 때문에 \({\overline{\rm DE}}^2={\overline{\rm DB}}^2\)이다. 따라서 \({\overline{\rm DE}}={\overline{\rm DB}}\)이다.

그리고 두 선분 \(\rm FE\), \(\rm FB\)의 길이는 반지름으로 같아 \({\overline{\rm FE}}={\overline{\rm FB}}\)이다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm DBF\), \(\rm DEF\)는 \({\overline{\rm DE}}={\overline{\rm DB}}\), \({\overline{\rm EF}}={\overline{\rm BF}}\), \(\overline{\rm FD}\)는 공통이므로 합동(SSS 합동)이다. 그러므로 대응하는 두 각 \(\rm DEF\), 각 \(\rm DBF\)는 \(\angle\rm DEF=\angle\rm DBF\)이다. [I권 명제 8]

그러나 \(\angle\rm DEF=90^\circ\)이므로 또한 \(\angle\rm DBF=90^\circ\)이다.

그리고 선분 \(\rm FB\)를 길게 늘이면 지름이 된다. 원의 지름의 끝 점에서 지름에 수직이 되게 그은 직선은 원에 접한다. [III권 명제 16 따름 정리] 따라서 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)에 접한다.

같은 방법으로 선분 \(\rm AC\)가 원의 중심을 지나는 경우에도 증명할 수 있다.

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그러므로 주어진 원과 원 밖의 점에 대하여, 이 점에서 원에 두 직선을 그리자. 한 직선은 원을 자르도록 그리고 다른 한 직선은 원에 닿도록 그리면 원을 자르는 전체 선분과 원 밖의 볼록한 둘레의 교점까지의 선분으로 만든 직사각형 넓이와 원에 닿은 선분을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같으면 원에 닿은 직선은 원에 접한다.

Q.E.D.