증명

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주어진 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm C\)에 직선 \(\rm DE\)가 접하고 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm F\)라 하고 직선 \(\rm FC\)를 그리자.

그러면, 직선 \(\rm FC\)는 직선 \(\rm DE\)와 수직이다는 것을 보이자.

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직선 \(\rm DE\)는 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm C\)에서 접하고 있다. 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm F\)라 하고 직선 \(\rm FC\)를 그리자. [III권 명제 1]

직선 \(\rm FC\)가 직선 \(\rm DE\)에 수직이 아니라고 하자. 그러면 점 \(\rm F\)로 부터 직선 \(\rm DE\)에 수선의 발 \(\rm G\)를 잡고 직선 \(\rm DE\)에 수직인 직선 \(\rm FG\)를 그리자. [I권 명제 12]

그러면 \(\angle\rm FGC=90^\circ\)이므로 각 \(\rm FCG\)는 \(\angle\rm FCG<90^\circ\)인 예각이다. [I권 명제 7]

각이 더 클 수록 그 각에 대응하는 대변을 더 길기 때문에 \(\overline{\rm FC}>\overline{\rm FG}\)이다. [I권 명제 19]

그러나 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm FB}\)이므로 \(\overline{\rm FB}>\overline{\rm FG}\)이다. 이것은 짧은 것이 긴 것 보다 길다. 이것은 불가능하다. 즉, \(\overline{\rm FB}<\overline{\rm FG}\)인 것에 모순이다.

그러므로 직선 \(\rm FG\)는 직선 \(\rm DE\)와 수직이 아니다.

같은 방법으로 직선 \(\rm FC\) 이외의 어떤 직선도 직선 \(\rm DE\)와 수직이 될 수 없음을 보일 수 있다. 따라서 직선 \(\rm FC\)는 직선 \(\rm DE\)에 수직이다.

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그러므로 주어진 원에 어떤 직선이 접하고 있고 접점에서 원의 중심으로 직선을 그리면 그 직선은 어떤 접선과 수직이다.

Q.E.D.