III 권
명제
주어진 원의 중심을 찾을 수 있다.
주어진 원\(\rm ABC\)의 중심을 찾을 수 있다.
주어진 원\(\rm ABC\)가 있다.
그러면, 원\(\rm ABC\)의 중심을 찾을 수 있음을 보이자.
주어진 원 \(\rm ABC\) 위의 임의의 두 점을 \(\rm A\)와 \(\rm B\)라고 하자.
선분 \(\rm AB\)(현 \(\rm AB\))를 긋고, 선분 \(\rm AB\)의 중점을 점 \(\rm D\)라 하자. [I권 명제 10]
점 \(\rm D\)에서 선분 \(\rm AB\)와 수직선(수직인 직선)을 그리고 원과의 두 교점을 점 \(\rm C\)와 점 \(\rm E\)라고 하자. 선분 \(\rm CE\)의 중점을 점 \(\rm F\)라고 하자. [I권 명제 11, 명제 10]
이제 점 \(\rm F\)가 원 \(\rm ABC\)의 중심 임을 보이자.
점 \(\rm F\)가 아닌 다른 점 \(\rm G\)가 원 \(\rm ABC\)의 중심이라고 가정하자. 선분 \(\overline{\rm GA}\), \(\overline{\rm GD}\), \(\overline{\rm GB}\)를 그리자.
\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BD}\)이고 \(\overline{\rm CG}\)가 공통이며 \(\overline{\rm GA}=\overline{\rm GB}\)(반지름)이므로 두 삼각형 \(\rm GCA\)와 \(\rm GCB\)는 합동이다.(\(\triangle \rm GCA \equiv \triangle \rm GCB\)) 따라서 \(\angle \rm AGD = \angle \rm GDB\) 이다. [I권 정의 15, 정리8]
그리고 직선의 한 점에서 다른 어떤 직선을 세웠을 때 이웃한 두 각의 크기가 같으면, 그 각들은 둘 다 직각이다. 따라서 \(\rm GDB=90^{\circ}\)이다. [1권 정의10]
그런데 \(\angle \rm GDB=90^{\circ}\)이므로 \(\angle \rm FDB=\angle \rm GDB\) 이다.
이는 더 큰 것이 더 작은 것과 크기가 같아졌으므로 모순이다.
그러므로 점 \(\rm G\)가 원 \(\rm ABC\)의 중심이 될 수 없다.
같은 방법으로 점 \(\rm F\)를 제외한 어떠한 점도 원 \(\rm ABC\)의 중심이 될 수 없으므로 점 \(\rm F\)가 원 \(\rm ABC\)의 중심이다.
그러므로 주어진 원의 중심을 찾을 수 있다.
Q.E.D.
어떤 직선이 주어진 원과 두 점에서 만나고, 그 두 점을 이은 선분(현)의 수직이등분선(두 점이 원 위에 있는 선분(현)과 수직이고 중점을 지나는 직선)은 원의 중심을 지난다.
[I권 정의 15]에서 원의 중심의 존재성이 포함되어 있기 때문에, 유클리드는 원의 중심을 점 \(\rm G\)이라고 놓으면서 정당화 하였다.
이 증명에서 점 \(\rm G\)는 선분 \(\rm AB\)의 수직이등분선 위에 있는 것으로 가정하였다. 유클리드는 실제로 수직이등분선에 위에 점 \(\rm F\)가 있다는 것을 보여주기 위해, 점 \(\rm G\)가 점 \(\rm F\)라는 것을 보여주기 위해서 수직이등분선 밖에 놓았다. 하지만 원의 두 점 \(\rm D\)와 \(\rm E\)의 중점 \(\rm F\)만이 \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm FE}\)이기 때문에 점 \(\rm F\)가 원의 중심인 것은 분명하다.
이것으로부터, 원의 중심은 다른 방법으로도 쉽게 증명될 수 있지만, 원의 중심이 유일하다는 것을 또한 따른 것이다.
시작하지만, 평면 기하학에서는 원들을 작도할 때, 먼저 중심을 잡고 원을 그리기 때문에 이러한 방법이 원을 작도하는 유일한 방법이기 때문에 이 명제 III권 명제 1을 실행할 필요는 없다.
입체 도형에서도 원 중심은 대개 알려져 있어서 III권 명제1이 필요하지 않다. 실제로 유클리드 입체 도형에 관한 책에서 중심이 필요할 때마다 그렇다(XI권 명제 23, XII권 명제 9 ~ XII권 명제 13, XII권 명제16 참조).
평면에 의해 절단된 구의 단면도 원기둥과 원뿔의 특정 평면 단면처럼 원형으로 되어 있으며, 구와 원기둥, 원뿔은 옆면을 중심으로 반원, 직사각형, 삼각형을 회전시켜 생성되었기 때문에 원의 중심은 옆면과 면의 교차점에 있는 것으로 알려져 있다. 그런 의미에서 이 명제는 중복된다.