III 권
명제
서로 다른 임의의 두 원에 대하여, 한 원은 다른 원을 두 점보다 많은 곳에서 자를 수 없다.
서로 다른 임의의 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 교점의 개수는 두 개 이하이다.
서로 다른 임의의 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)가 있다.
그러면, 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 교점의 개수는 두 개 이하임을 보이자.
두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)의 교점의 개수가 \(2\)개 보다 많다고 하고, 그 점들을 \(\rm B\), \(\rm G\), \(\rm F\), \(\rm H\)이라고 하자.
두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm DEF\)의 공통 현 \(\rm BH\), \(\rm BG\)를 그리고 각각 점 \(\rm K\), \(\rm L\)에서 이등분된다고 하자. 그리고 두 현 \(\rm BH\), \(\rm BG\) 위의 각각 점 \(\rm K\), \(\rm L\)에서 수직인 직선 \(\rm KC\), \(\rm LM\)이 각각 점 \(\rm A\), \(\rm E\)를 지나도록 그리자. [I권 명제 10, 명제 11]
원 \(\rm ABC\)의 현 \(\rm AC\)가 현 \(\rm BH\)를 수직으로 이등분하므로, 원 \(\rm ABC\)의 중심은 현 \(\rm AC\) 위에 있다. 같은 원 \(\rm ABC\)의 현 \(\rm NO\)가 현 \(\rm BG\)를 수직으로 이등분하므로 원 \(\rm ABC\)의 중심이 현 \(\rm NO\) 위에 있다. [III권 명제 1 보조정리]
따라서 원 \(\rm ABC\)의 두 현 \(\rm AC\)와 \(\rm NO\)의 교점이 이므로 점 \(\rm P\)는 원 \(\rm ABC\)의 중심이다.
같은 방법으로 점 \(\rm P\)는 원 \(\rm DEF\)의 중심이다. 따라서 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)가 서로를 자르면서 중심이 점 \(\rm P\)로 같다. 이것은 불가능하다. [III권 명제 5]
그러므로 서로 다른 임의의 두 원에 대하여, 한 원은 다른 원을 두 점보다 많은 곳에서 자를 수 없다.
Q.E.D.
이 그림은 또 다른 불가능한 그림이다. 두 곡선은 모두 원의 원둘레로 되어 있지만, 상황이 발생하지 않는 것으로 증명되었으므로 둘 다 원으로 그릴 수는 없다. 유클리드는 두 원이 만나는 점을 4 개를 지정하였지만 증명에는 점 \(\rm B\), \(\rm G\), \(\rm H\)의 3 개만 사용된다.
증명은 실제로 두 원이 두 지점 이상에서 만날 수 없다는 것을 보여준다. 여기서 “만난다”는 잘 리거나 접하는 것이다.
히스(Heath)는 두 현 \(\rm BG\)와 \(\rm BH\)를 이등분하는 직선이 만나는 것을 보이지 않고 있다고 말했다. 사실, 그들은 원 \(\rm ABC\)의 중심이 두 현에 놓여 있는 것을 보였기 때문에 두 현은 교점인 원의 중심을 지난다.
이 명제는 III권 명제 24에서 사용된다.