증명

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주어진 선분 \(\rm AB\)을 할선으로 하는 활꼴 \(\rm ACB\)가 있다.

그러면, 활꼴 \(\rm ACB\)와 닮음이면서 서로 다른 활꼴을 같은 쪽에 그릴 수 없다는 것을 보이자.

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주어진 선분 \(\rm AB\)을 할선으로 하는 활꼴 \(\rm ACB\)가 있다. 활꼴 \(\rm ACB\)와 닮음이면서 서로 다른 활꼴 \(\rm ADB\)를 같은 쪽에 그릴 수 있다고 하자. 세 선분 \(\rm ACD\), \(\rm CB\), \(\rm DB\)를 그리자.

그러면 두 활꼴 \(\rm ACB\), \(\rm ADB\)는 닮음이고, 닮음인 두 활꼴의 각은 같으므로 \(\angle\rm ACB=\angle\rm ADB\)이다. [III권 정의 11]

그러나 이것은 삼각형 \(\rm ABC\)의 외각 \(\rm ADB\)와 내각 \(\rm ACB\)가 같다는 것이므로 불가능하다. [I권 명제 16]

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그러므로 주어진 선분에 대하여, 닮은꼴이면서 서로 다른 활꼴들을 같은 쪽에 그릴 수 없다.

Q.E.D.