III 권
명제
주어진 두 원이 한 점에서 접하면, 이들 두 원의 중심은 같은 수 없다.
주어진 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\)가 한 점에서 접하면, 이 두 원의 중심은 같을 수 없다.
주어진 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\)가 한 점에서 접한다.
그러면, 이 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\)의 중심은 같을 수 없다.
두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\)가 점 \(\rm C\)에서 접한다고 하자.
이제 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\)의 중심이 같지 않음을 보이자.
두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\)의 중심이 같다고 가정하자. 그 중심을 점 \(\rm F\)라고 하자.
선분 \(\rm FC\)를 그리고, 세 점 \(\rm F\), \(\rm E\), \(\rm B\)가 임의의 반직선 위에 있도록 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\) 위에 각각 점 \(\rm B\), \(\rm E\)를 잡자. 선분 \(\rm FEB\)를 그리자.
그러면 점 \(\rm F\)가 원 \(\rm ABC\)의 중심이므로 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm BF}\)이다. 다시 점 \(\rm F\)가 원 \(\rm CDE\)의 중심이므로 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm FE}\)이다. [I권 정의 15]
그러므로 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm BF}\)이고, \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm FE}\)이므로 \(\overline{\rm FB}=\overline{\rm FE}\)이다. 이것은 작은 것이 큰것과 같음로 불가능하다. 즉, \(\overline{\rm FE}<\overline{\rm FB}\)인 것에 모순이다.
따라서 점 \(\rm F\)는 동시에 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDE\)의 중심이 될 수 없다.
그러므로 주어진 두 원이 한 점에서 접하면, 이들 두 원의 중심은 같은 수 없다.
Q.E.D.
앞에서 언급한 것처럼, 이 명제는 앞의 명제와 거의 같다. 두 명제 모두 다음 명제에 포함 될 수 있다. “만나는 두 원의 중심은 같지 않다.” 또는 대우 명제인 “두 원의 중심이 같으면 두 원은 만나지 않는다.”