증명

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직선 \(\rm EF\)가 원 \(\rm ABCD\) 위의 점 \(\rm B\)에서 접하고 있다. 점 \(\rm B\)에서 원 내부를 지나도록 직선을 그리고 그 직선과 원과의 교점을 \(\rm D\)라 하자. 선분 \(\rm AD\)를 그어 원을 자르자.

그러면 선분 \(\rm BD\)와 접선 \(\rm EF\)가 만드는 각 \(\rm FBD\)은 이 각의 있는 쪽의 원의 반대쪽 활꼴 \(\rm BAD\)의 내부원주각 \(\rm BAD\)의 크기와 같음을 보이자. 즉, \(\angle\rm FBD=\angle\rm BAD\)임을 보이자. 또한 각 \(\rm EBD\)는 이 각이 있는 쪽의 원의 반대쪽 활꼴 \(\rm BCD\)의 내부원주각 \(\rm BCD\)와 같다는 것을 보이자. 즉, \(\angle\rm EBD=\angle\rm BCD\)임을 보이자.

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직선 \(\rm EF\)가 원 \(\rm ABCD\) 위의 점 \(\rm B\)에서 접하고 있다. 점 \(\rm B\)에서 원 내부를 지나도록 직선을 그리고 그 직선과 원과의 교점을 \(\rm D\)라 하자. 선분 \(\rm AD\)를 그어 원을 자르자.

점 \(\rm B\)에서 직선 \(\rm EF\)와 수직인 직선을 그어 원 \(\rm ABCD\)와 교점을 \(\rm A\)라 하고, 선분 \(\rm BA\)를 그리자. 호 \(\rm BD\) 위의 임의의 점 \(\rm C\)를 잡고, 세 선분 \(\rm AD\), \(\rm DC\), \(\rm CB\)를 그리자. [I권 명제 11]

그러면 직선 \(\rm EF\)는 원 \(\rm ABCD\) 위의 점 \(\rm B\)에서 접하고 선분 \(\rm BA\)는 접점 \(\rm B\)에서 접선 \(\rm EF\)에 수직이므로 원 \(\rm ABCD\)의 중심은 선분 \(\rm BA\)에 놓여 있다. [III권 명제 31]

따라서 선분 \(\rm BA\)는 원 \(\rm ABCD\)의 지름이다. 그러므로 각 \(\rm ADB\)는 반원의 내부원주각이므로 \(\angle\rm ADB=90^\circ\)이다. [III권 명제 1]

또한 삼각형 \(\rm ABD\)에서 남은 두 각 \(\rm BAD\), \(\rm ABD\)의 크기의 합은 \(\angle\rm BAD+\angle\rm ABD=90^\circ\)이다. [I권 명제 32]

그러나 역시 \(\angle\rm ABF=90^\circ\)이어서 \(\angle\rm ABF=\angle\rm BAD+\angle\rm ABD\)이다.

양변에 \(\angle\rm ABD\)를 각각 빼자.

\(\angle\rm ABF=\angle\rm BAD+\angle\rm ABD\)

\(\angle\rm ABF-\angle\rm ABD=\angle\rm BAD+\angle\rm ABD-\angle\rm ABD\)

\(\angle\rm BDF=\angle\rm BAD\)

이다. 즉, 각 \(\rm BDF\) 크기는 반대쪽 활꼴 \(\rm BAD\)의 내부원주각 \(\rm BAD\)의 크기와 같다.

다음으로 사각형 \(\rm ABCD\)는 원 \(\rm ABCD\)에 내접하므로 마주보고 있는 두 내각의 합은 \(180^\circ\)이다. [III권 명제 22]

그러나 \(\angle\rm DBF+\angle\rm DBE=180^\circ\)이어서 \(\angle\rm BAD+\angle\rm BCD=180^\circ\)이다. 따라서

\(\angle\rm DBE=180^\circ - \angle\rm DBF=180^\circ - \angle\rm BAD=\angle\rm DCB\)이다.

그러므로 \(\angle\rm DBE=\angle\rm DCB\)이다. 즉, 각 \(\rm DBE\) 크기는 반대쪽 활꼴 \(\rm DCB\)의 내부원주각 \(\rm DCB\)의 크기와 같다.

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그러므로 주어진 원과 그 원에 접하는 직선에 대하여, 이 원과 접선의 접점을 지나는 한 선분이 원을 자른다고 하면, 이 선분이 접선과 만드는 각은 반대쪽 활꼴의 내부원주각의 크기와 같다.

Q.E.D.