증명

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주어진 원 \(\rm BCD\)과 원 밖의 임의의 점 \(\rm A\)이 있다.

그러면, 점 \(\rm A\)를 지나고 원 \(\rm BCD\)에 접하는 접선을 그을 수 있다는 것을 보이자.

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원 \(\rm BCD\)의 중심을 \(\rm E\)라 하고, 선분 \(\rm EA\)를 그리자. [III권 명제 1] 점 \(\rm E\)가 중심이고 반지름이 \(\overline{\rm AE}\)인 원 \(\rm AFG\)를 그리자. 점 \(\rm D\)에서 선분 \(\rm EA\)와 수직이 되도록 선분 \(\rm DF\)를 그리자. 두 선분 \(\rm EF\), \(\rm AB\)를 그리자. [I권 명제 11]

점 \(\rm A\)에서 그은 직선 \(\rm AB\)가 원 \(\rm BCD\)에 접한다는 것을 보이자.

점 \(\rm E\)가 두 원 \(\rm BCD\), \(\rm AFG\)의 공통인 중점이기 때문에, \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm ED}=\overline{\rm EB}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm FE}\), \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm ED}\)이고, 점 \(\rm E\)에서 각각 이들 선분으로 만든 각은 공통각(\(\angle\rm AEF=\angle\rm DEB\))을 갖는다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm AB}\), \(\angle\rm DEF=\angle\rm BEA\)이고 나머지 각들은 각각 나머지 각들과 같으므로 \(\angle\rm EDF=\angle\rm EBA\)이다. [I권 명제 4]

그러나 \(\angle \rm EDF=90^\circ\)이어서 역시 \(\angle \rm EBA=90^\circ\)이다.

\(\overline{\rm EB}\)는 반지름이고, 원의 지름 끝에서 지름에 수직이 되도록 그은 직선은 원에 접하므로 직선 \(\rm AB\)는 원 \(\rm BCD\)에 접한다. [III권 명제 16 따름 정리]

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그러므로 주어진 원과 원 밖의 임의의 점이 있다. 그 점으로 부터 원에 접하는 직선(접선)을 그을 수 있다.

Q.E.D.