증명

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주어진 원 \(\rm ABCD\)는 중심이 \(\rm E\)이며, 지름은 선분 \(\rm BC\)이다. 네 선분 \(\rm BA\), \(\rm AC\), \(\rm AD\), \(\rm DC\)를 그리자.

(1) 그러면 반원 \(\rm BAC\)의 내부원주각 \(\rm BAC\)의 크기는 \(\angle\rm BAC\)이다. 그리고 반원 \(\rm BAC\) 보다 더 큰 활꼴의 내부원주각 \(\rm ABC\)의 크기는 \(\angle\rm ABC<90^\circ\)이고, 반원 보다 더 작은 활꼴의 내부원주각 \(\rm ADC\)의 크기는 \(\angle\rm ADC>90^{\circ}\)을 보이자.

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두 선분 \(\rm AE\)를 그리자. 반직선 \(\rm BA\)를 그려서 원 밖의 점 \(\rm F\)를 지난다고 하자.

그러면 \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm EA}\)이고, \(\angle\rm ABE=\angle\rm BAE\)이다. [I권 명제 5]

다시, \(\overline{\rm CE}=\overline{\rm EA}\)이고, \(\angle\rm ACE=\angle\rm CAE\)이다.

또한 \(\angle\rm BAC=\angle\rm ABC+\angle\rm CAE\)이다.

그러나 각 \(\rm FAC\)는 삼각형 \(\rm ABC\)의 외각이므로 \(\angle\rm FAC=\angle\rm ABC+\angle\rm ACB\)이다. [I권 명제 32] 그러므로 \(\angle\rm BAC=\angle\rm FAC\)이다. 따라서 \(\angle\rm BAC+\angle\rm FAC=180^\circ\)이므로 \(\angle\rm BAC=\angle\rm FAC=90^\circ\)이다. 그러므로 반원 \(\rm BAC\)의 내부원주각 의 크기는 \(\angle\rm BAC=90^\circ\) 이다.

다음으로 삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\angle\rm ABC+\angle\rm BAC<180^\circ\)이고 \(\angle\rm BAC=90^\circ\)이므로

\(\angle\rm ABC+\angle\rm BAC<180^\circ\)

\(\angle\rm ABC+90^\circ<180^\circ\)

\(\angle\rm ABC<90^\circ\)

이다. 그리고 이 각 \(\rm ABC\)는 반원 \(\rm BAC\) 보다 큰 활꼴 \(\rm ABC\)의 내부원주각이다. [I권 명제 17]

다름으로 원 \(\rm ABCD\)에 내접한 사각형 \(\rm ABC\)에서 마주보는 두 내각의 합은 \(180^\circ\)이다. 즉, \(\angle\rm ABC+\angle\rm ADC=180^\circ\)이다. [III권 명제 22] 따라서 \(\angle\rm ABC<90^\circ\)이므로

\(\angle\rm ABC+\angle\rm ADC=180^\circ\)

\(\angle\rm ADC=180^\circ - \angle\rm ABC>90^\circ\)

\(\angle\rm ADC>90^\circ\)

이다. 이 각 \(\rm ADC\)는 반원 \(\rm BAC\) 보다 작은 활꼴 \(\rm ADC\)의 내부원주각이다.

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(2) 반원 \(\rm BAC\) 보다 더 큰 활꼴각, 즉, 호 \(\rm ABC\)와 현 \(\rm AC\)가 만드는 각은 \(90^\circ\) 보다 크고, 반원 \(\rm BAC\) 보다 더 작은 활꼴각, 즉, 호 \(\rm ADC\)와 현 \(\rm AC\) 가 만드는 각은 \(90^\circ\) 보다 작다는 것을 보이자.

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이것은 자명하다. 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)가 만드는 각 \(\rm BAC\)의 크기는 \(\angle\rm BAC<90^\circ\)이므로 호 \(\rm ABC\)와 현 \(\rm AC\)가 만드는 각은 \(90^\circ\) 보다 크다. 그리고 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm AF\)가 만드는 각 \(\rm CAF\)는 크기가 \(\angle\rm CAF=90^\circ\)이므로 호 \(\rm CAD\)와 \(\rm CA\)가 만드는 각은 \(90^\circ\) 보다 작다.

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그러므로 주어진 원에 대하여, 반원의 내부원주각은 이다. 반원보다 더 큰 활꼴의 내부원주각은 보다 작고, 반원보다 더 작은 활꼴의 내부원주각은 보다 크다. 반원보다 더 큰 활꼴의 각은 보다 크고. 반원보다 더 작은 활꼴의 각은 보다 작다.

Q.E.D.