III 권
명제
주어진 원의 지름의 양 끝 점에서 지름에 수직이 되도록 직선을 그리면, 그 직선은 원의 바깥쪽에 놓인다. 또한 그 직선과 원둘레 사이에는 어떠한 직선도 놓일 수 없다. 그리고 반원이 만드는 각은 어떠한 직선의 예각보다도 크고, 그것을 뺐을 때 남은 각은 어떠한 직선 예각보다도 작다.
주어진 원 \(\rm ABC\)은 중심 \(\rm D\)이고 지름이 \(\overline{\rm AB}\)인 원이라 하면, 점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 직선 \(\rm AE\)는 원 외부에 있다. 또한 직선 \(\rm AB\)와 원둘레 \(\rm CHA\) 사이에는 어떠한 직선도 놓을 수 없다. 그리고 반원을 만드는 각 즉 선분 \(\rm BA\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각이 어떤 두 직선 이 만드는 예각보다 크다 그리고 이것을 뺏을 때 남은 각 즉, 원둘레 \(\rm CHA\)와 직선 \(\rm EA\)가 만드는 각은 어떤 두 직선으로 만든 예각보다도 작다.
주어진 원 \(\rm ABC\)은 중심 \(\rm D\)이고 지름이 \(\overline{\rm AB}\)인 원이라 하자.
그러면, 점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직인 직선 \(\rm AE\)는 원 외부에 있고 또한 직선 \(\rm AB\)와 원둘레 \(\rm CHA\) 사이에는 어떠한 직선도 놓을 수 없다. 반원을 만드는 각 즉 선분 \(\rm BA\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각이 어떤 두 직선 이 만드는 예각보다 크다 그리고 이것을 뺏을 때 남은 각 즉, 원둘레 \(\rm CHA\)와 직선 \(\rm EA\)가 만드는 각은 어떤 두 직선으로 만든 예각보다도 작다는 것을 보이자.
(1) 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm D\)라하고 지름은 \(\overline{\rm AB}\)이라고 하자. 그러면 점 \(\rm A\)에서 선분 \(AB\)에 수직인 직선 \(\rm AE\)가 원 \(\rm ABC\) 외부에 있음을 보이자.
점 \(\rm A\)에서 선분 \(AB\)에 수직인 직선이 원 외부에 있지 않다고 가정하자. 이러한 직선을 직선 \(\rm CA\)이라고 하자. 선분 \(\rm DC\)를 그리자.
\(\overline{\rm DA}=\overline{\rm DC}\)이므로 \(\angle{\rm DAC}=\angle{\rm ACD}\)이다. [I권 명제 5]
그런데 \(\angle{\rm DAC}=90^\circ\)이어서 \(\angle{\rm ACD}=90^\circ\)이다. 그러므로 삼각형 \(\rm ACD\)의 두 각 \(\angle\rm DAC\), \(\angle\rm ACD\)는 \(\angle\rm DAC=\angle\rm ACD=90^\circ\)이므로 이것은 불가능 하다. [I권 명제 17]
그러므로 점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm BA\)와 수직이 되게 그린 직선은 원 안에 놓일 수 없다.
같은 방법으로 이 직선이 원둘레에 놓이지 않음을 보일 수 있다. 이러한 직선을 직선 \(\rm EA\)이라고 하자.
(2) 직선 \(\rm EA\)와 원둘레 \(\rm CHA\) 사이에는 어떤 다른 직선도 없음을 보이자.
만약 직선 \(\rm EA\)와 원둘레 \(\rm CHA\) 사이에 직선이 있다고 하자. 이러한 직선을 \(\rm FA\)라 하자. 점 \(\rm D\)에서 선분 \(\rm FA\)에 수직인 직선 \(\rm DA\)를 그리자. [I권 명제 12]
그러면 \(\angle\rm AGD=90^\circ\)이고 \(\angle\rm DAG<90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm AD}>\overline{\rm DG}\)이다. [I권 명제 17, 명제 19]
그러나 \(\overline{\rm DA}=\overline{\rm DH}\)이어서 \(\overline{\rm DH}>\overline{\rm DG}\)이다. 이것은 짧은 것이 긴 것 보다 더 길다. 이것은 불가능하다. 즉, \(\overline{\rm DH}<\overline{\rm DG}\)인 것에 모순이다. 그러므로 이 직선 \(\rm AE\)와 원둘레 \(\rm CHA\) 사이에는 어떤 직선도 놓을 수 없다.
(3) 반 원을 만드는 각 즉 선분 \(\rm BA\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각이 어떤 두 직선이 만드는 예각 보다도 크다는 것일 보이자. 그리고 이것을 뺏을 때 남은 각, 원둘레 \(\rm CHA\)와 직선 \(\rm EA\)가 만드는 각은 어떤 두 직선이 만드는 예각 보다도 작음을 보이자.
어떤 두 직선이 만드는 각이 직선 \(\rm BA\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각 보다 더 큰 각이 있거나 두 직선이 만드는 각이 직선 \(\rm BA\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각 보다 작은 각이 있다고 한다면, 직선 \(\rm AE\)와 원둘레 \(\rm CHA\) 사이에 어떤 직선이 놓여 있어서 이 직선과 직선 \(\rm AB\)가 만드는 각은 직선 \(\rm BA\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각 보다 더 크고, 이 직선과 직선 \(\rm AE\)가 만드는 각은 직선 \(\rm AE\)과 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각 보다 작다.
그러나 선분 \(\rm AB\)와 원둘레 \(\rm CHA\) 사이에는 그 어떤 직선도 놓을 수 없다. 두 직선이 만드는 예각은 직선 \(\rm BA\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각 보다 클 수 없고, 두 직선이 만드는 예각은 직선 \(\rm AE\)와 원둘레 \(\rm CHA\)가 만드는 각보다 작을 수 없다. [위에 있는 증명 (2)]
그러므로 주어진 원의 지름의 양 끝 점에서 지름에 수직이 되도록 직선을 그리면, 그 직선은 원의 바깥쪽에 놓인다. 또한 그 직선과 원둘레 사이에는 어떠한 직선도 놓일 수 없다. 그리고 반원이 만드는 각은 어떠한 직선의 예각보다도 크고, 그것을 뺐을 때 남은 각은 어떠한 직선 예각보다도 작다.
Q.E.D.
원의 지름의 끝 점에서 지름에 수직이 되도록 그은 직선은 원에 접한다.
뿔 각(horn angle)
I권으로 돌아가서, I권 정의 8, 유클리드에서는 각을 정의하고, 변들이 직선이 아닐 가능성을 포함시켰다. 변이 직선인 경우, I권 정의 9에 직선 각이라고 한다. 이 명제가 있기 전까지 우리는 직선으로 된 각만 보았다. 이 명제에서 유클리드는 원둘레 \(\rm CHA\)와 접선 \(\rm AE\)가 포함하는 각이 어떤 예각보다 작다는 것을 보였다. 그런 종류의 각은 보통 뿔각(horn angle)이라고 불린다. 지름과 원주에 의해 포함된 각인 이것의 보완물은 직각은 직각보다는 작지만 어떤 예각 보다 크다.
이 곡선으로 이루어진 각에 대해 말할 수 있는 것은 많지만, 이러한 각은 원론에서 이 명제에서만 보인다.
뿔 각은 두 직선으로 된 각에 대해 극히 작다. 즉, 많은 뿔 각은 두 직선으로 이루어진 각 보다 크지 않거나, 동등하게 직선 각의 일부 (의미 부분)가 뿔 각 보다 작지 않다. 뿔 각에 대한 생각은 V권에서 개발 된 비율 이론에 어려움을 초래한다.
명제 16과 그 따름 정리의 사용
이 명제는 IV권 명제 4와 다른 두 권의 명제 증명에 사용된다. 따름 정리는 III권 명제 17, III권 명제 33, III권 명제 37에서 사용되며, IV권 및 XII권 명제 16에서 몇 가지 명제에 사용된다.