증명

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주어진 원 \(\rm ABCD\)에 대하여 같은 활꼴 \(\rm BAED\)에 내부 원주각인 임의의 두 각 \(\rm BAD\), \(\rm BED\)가 있다.

그러면, \(\angle\rm BAD=\angle\rm BED\)임을 보이자.

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원 \(\rm ABCD\)에 대하여 같은 활꼴 \(\rm BAED\)에 내부 원주각인 임의의 두 각 \(\rm BAD\), \(\rm BED\)가 있다.

원 \(\rm ABCD\)의 중심을 \(\rm F\)라 하고, 두 선분 \(\rm BF\), \(\rm FD\)를 그리자. [III권 명제 1]

중심각인 각 \(\angle\rm BFD\)와 원주각인 각 \(\angle\rm BED\)는 둘 다 모두 호 \(\rm BCD\)를 밑변으로 가지고 있다. 그러므로 \(\angle\rm BFD=2\angle\rm BAD\)이다. [III권 명제 20]

같은 이유로 \(\angle\rm BFD=2\angle\rm BED\)이다.

따라서 \(\angle\rm BAD=\frac12 \angle\rm BFD=\angle\rm BED\)이다.

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그러므로 주어진 원에서 같은 활꼴의 내부원주각들은 크기가 같다.

Q.E.D.