증명

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주어진 원 \(\rm ABCD\) 안에 사각형 \(\rm ABCD\)이 내접하고 있다.

그러면, 마주보는 두 대각의 합은 \(180^\circ\)임을 보이자. 즉, \(\angle\rm BDA+\angle\rm DCB=180^\circ\), \(\angle\rm ABC+\angle\rm ADC=180^\circ\)임을 보이자.

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원 \(\rm ABCD\) 안에 사각형 \(\rm ABCD\)이 내접하고 있다.

두 선분 \(\rm AC\), \(\rm BD\)를 그리자.

그러면 모든 삼각형 세 내각의 합은 이다. 그러므로 삼각형 \(\rm ABC\)의 세 내각 \(\rm CAB\), \(\rm ABC\), \(\rm BCA\)에 대하여 이다. [I권 명제 32]

그러나 같은 활꼴 \(\rm BADC\)의 내부 두 원주각 \(\rm CAB\), \(\rm BDC\)는 \(\angle\rm CAB=\angle\rm BDC\)이다. 그리고 같은 활꼴 \(\rm ADCB\)의 내부 원주각 \(\rm ACB\), \(\rm ADB\)는 \(\angle\rm ACB=\angle\rm ADB\)이다. [III권 명제 21]

그러므로 \(\angle\rm ADC=\angle\rm BDC+\angle\rm ADB=\angle\rm BAC+\angle\rm ACB\)이다.

양변에 \(\angle ABC\)를 각각 더하자. 그러면

\(\angle\rm ADC+\angle\rm ABC=\angle\rm BAC+\angle\rm ACB+\angle\rm ABC=180^\circ\)이다.

같은 방법으로 \(\angle\rm BAD+\angle\rm DCB=180^\circ\)임을 보일 수 있다.

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그러므로 주어진 원의 내접사각형의 마주 보는 두 각을 더하면 이다.

Q.E.D.