증명

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주어진 원 \(\rm ABC\)의 밖의 점 \(\rm D\)가 있다. 점 \(\rm D\)에서 두 선분 \(\rm DCA\)와 \(\rm DB\)를 그리자. 선분 \(\rm DCA\)는 원 \(\rm ABC\)을 자르고 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)에 접한다.

그러면 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DC\)가 각각 가로 세로인 직사각형 넓이와 한 변이 \(\rm DB\)인 정사각형인 넓이와 같다. 즉, \(\overline{\rm AD}\times \overline{\rm DC}={\overline{\rm DB}}^2\)임을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABC\)의 밖의 점 \(\rm D\)가 있다. 점 \(\rm D\)에서 두 선분 \(\rm DCA\)와 \(\rm DB\)를 그리자. 선분 \(\rm DCA\)는 원 \(\rm ABC\)을 자르고 선분 \(\rm DB\)는 원 \(\rm ABC\)에 접한다.

선분 \(\rm DCA\)가 원 \(\rm ABC\)의 중심을 지나는 경우와 지나지 않는 경우로 나누어서 증명을 하자.

(1) 선분 \(\rm DCA\)가 원 의 중심을 지난다고 하자.

그리고 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm F\)라고 하자. 선분 \(\rm FB\)를 그리자. 그려면 \(\angle\rm FBC=90^\circ\)이다. [III권 명제 18]

그리고 선분 \(\rm AC\)는 중점이 \(\rm F\)이고 선분 \(\rm AC\)의 한 끝 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm CD\)를 더 연장하였다. 그러므로 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm FC}}^2 = {\overline{\rm FD}}^2\)이다. [II권 명제 6]

그런데 \(\overline{\rm FB}=\overline{\rm FC}\)이므로 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm FB}}^2 = {\overline{\rm FD}}^2\)이다. ---①

그리고 삼각형 \(\rm FBC\)는 직각삼각형이므로 \({\overline{\rm FB}}^2+{\overline{\rm BD}}^2={\overline{\rm FD}}^2\)이다 따라서 식 ①에 대입하면 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm FB}}^2 = {\overline{\rm FB}}^2+{\overline{\rm BD}}^2\)이다. [II권 명제 47]--- ②

식 ②의 양변에 각각 \({\overline{\rm FB}}^2\)을 빼자.

\(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm FB}}^2 -{\overline{\rm FB}}^2= {\overline{\rm FB}}^2+{\overline{\rm BD}}^2-{\overline{\rm FB}}^2\)

\(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC} = {\overline{\rm BD}}^2\)

이다.

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(2) 선분 \(\rm DCA\)는 원 \(\rm ABC\)의 중심을 지나지 않는다고 하자.

원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm E\)라고 하고, 점 \(\rm E\)로 부터 현 \(\rm AC\)에 내린 수선의 발을 \(\rm F\)라 하고 선분 \(\rm EF\)를 그리자. 또한 세 선분 \(\rm EB\), \(EC\), \(\rm ED\)를 그리자. [III권 명제 1]

그러면 \(\angle\rm EBD=90^\circ\)이다. [III권 명제 18]

그리고 선분 \(\rm EF\)가 중심을 지나지 않는 현 \(\rm AC\)를 점 \(\rm F\)에서 직각이 되게 잘랐으므로 현 \(\rm AC\)를 이등분한다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm FC}\)이다. [III권 명제 3]

현 \(\rm AC\)는 중심은 \(\rm F\)이고 한 끝점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm CD\)를 더 연장하였기 때문에 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm FC}}^2 = {\overline{\rm FD}}^2\)이다. [II권 명제 6] ---- ③

식 ③의 양변에 각각 \({\overline{\rm FE}}^2\)을 더하자. 그러면 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm FC}}^2 + {\overline{\rm FE}}^2= {\overline{\rm FD}}^2 + {\overline{\rm FE}}^2\)이다. ---④

그러나 삼각형 \(\rm EFC\)는 \(\angle\rm EFC=90^\circ\)인 직각삼각형이므로 \({\overline{\rm EC}}^2={\overline{\rm FC}}^2+{\overline{\rm FE}}^2\)이고, --- ⑤

삼각형 \(\rm EFC\)는 \(\angle\rm EFD=90^\circ\)인 직각삼각형이므로 \({\overline{\rm ED}}^2={\overline{\rm FD}}^2+{\overline{\rm FE}}^2\)이다. ---⑥

그러므로 식 ④에 ⑤와 ⑥을 대입하면 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm EC}}^2 = {\overline{\rm ED}}^2\)이다. [I권 명제 47] --- ⑦

그리고 \(\overline{\rm EC}=\overline{\rm EB}\)이므로 식 ⑦은 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm EB}}^2 = {\overline{\rm ED}}^2\)이다. --- ⑧

그런데 삼각형 \(\rm EBD\)는 \(\rm EBD=90^\circ\)인 직각삼각형이므로 \({\overline{\rm EB}}^2+{\overline{\rm BD}}^2={\overline{\rm ED}}^2\)이다. --- ⑨

따라서 식 ⑨를 식 ⑧에 대입하면 \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm EB}}^2 = {\overline{\rm EB}}^2+{\overline{\rm BD}}^2\)이다. --- ⑩

식 ⑩의 양변에 \({\overline{\rm EB}}^2\)을 빼자.

\(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}+{\overline{\rm EB}}^2 -{\overline{\rm EB}}^2 = {\overline{\rm EB}}^2+{\overline{\rm BD}}^2-{\overline{\rm EB}}^2\)

\(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm DC}= {\overline{\rm BD}}^2\)

이다.

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그러므로 주어진 원과 원 밖의 한 점에 대하여, 이 점에서 원에 두 직선을 그리고 한 직선은 원을 자르도록 그리며 다른 한 직선은 원에 접하도록 그리면, 원을 자르는 선분의 전체와 원 밖의 점으로부터 그 선분에서 원의 볼록한 둘레의 교점까지의 선분으로 만든 직사각형 넓이와 원 밖의 점에서 접점까지의 선분으로 만든 정사각형의 넓이와 같다.

Q.E.D.