III 권
명제
주어진 원의 지름에서 중심(중점)이 아닌 어떤 점에 대하여 그 점에서 원둘레의 위의 임의의 점까지 선분을 그리면, 그 중 가장 긴 선분은 윈의 중심을 지나는 것이고, 가장 짧은 것은 지름에서 긴 선분을 뺀 것이고, 다른 선분들도 원의 중심에 가까운 것이 먼 것보다 더 길며, 길이가 같은 선분은 쌍으로 존재하며, 가장 짧은 선분의 양쪽 영역에 하나씩 존재한다.
주어진 원 \(\rm ABCD\)의 지름이 선분 \(\rm AD\)이고 중심 \(\rm E\)이고 중심이 아닌 지름 \(\rm AD\) 위의 점 \(\rm F\)에 대하여, 점 \(\rm F\)에서 지름 \(\rm AD\)로 나누어진 같은 쪽 원둘레 위의 점 \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm G\)가 있으면, 점 \(\rm F\)와 원둘레 위의 임의의 점을 이은 선분들 중 선분 \(\rm FA\)가 가장 길고, 선분 \(\rm FD\)가 가장 짧으며, 점 \(\rm F\)로부터 중심을 지나는 직선에 점 \(\rm F\)로 부터 원둘레 위의 점을 이은 선분이 가까운 선분 \(\rm FB\)가 먼 선분 \(\rm FC\) 보다 더 길고, 또한 선분 \(\rm FG\)와 같은 선분 \(\rm FH\)가 가장 짧은 선분의 양쪽에 하나씩 존재한다.
첫 번째, 주어진 원 \(\rm ABCD\)의 지름이 \(\rm Ad\)이고 중심이 점 \(\rm E\)이다. 원의 중심이 아닌 선분 \(\rm AD\) 위의 점 \(\rm F\)를 잡자. 점 \(\rm F\)로부터 지름 \(\rm AD\)로 나누어진 원둘레의 같은 쪽 원둘레 위의 임의의 점 \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm G\)가 있다. 세 선분 \(\overline{\rm FB}\), \(\overline{\rm FC}\), \(\overline{\rm FG}\)를 그리자.
그러면 \(\overline{\rm FA}\)가 가장 크고, \(\overline{\rm FD}\)가 가장 작으며, \(\overline{\rm FB}>\overline{\rm FC}\)이고 \(\overline{\rm FC}>\overline{\rm FG}\)임을 보이자.
세 선분 \(\rm BE\), \(\rm CE\), \(\rm GE\)를 그리자.
그러면 삼각형 두 변의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변 보다 크기 때문에 \(\overline{\rm EB}+\overline{\rm EF}>\overline{\rm BF}\)이다. [I권 명제 20]
그런데, \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm BE}\)이므로 \(\overline{\rm AF}>\overline{\rm BF}\)이다.
다시 두 삼각형 \(\rm BEF\)와 \(\rm CEF\)에서 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm CE}\)(둘 다 반지름)이고 \(\overline{\rm FE}\)는 공통으로 같고, \(\angle{\rm BEF}>\angle{\rm CEF}\)이므로 \(\overline{\rm BF}>\overline{\rm CF}\)이다. [I권 명제 24]
같은 이유로, \(\overline{\rm CF}>\overline{\rm GF}\)이다.
다시, \(\overline{\rm GF}+\overline{\rm FE}>\overline{\rm EG}\)이고 \(\overline{\rm EG}=\overline{\rm ED}\)이므로 \(\overline{\rm GF}+\overline{\rm FE}>\overline{\rm ED}\)이다. [I권 명제 20]
양변에 각각 \(\overline{\rm EF}\)를 빼자.
\(\overline{\rm GF}+\overline{\rm FE}-\overline{\rm EF}>\overline{\rm ED}-\overline{\rm EF}\)
\(\overline{\rm GF}> \overline{\rm FD}\)
이다.
그러므로 \(\overline{\rm FA}\)가 가장 크고, \(\overline{\rm FD}\)가 가장 작으며 \(\overline{\rm FB}>\overline{\rm FC}\)이고 \(\overline{\rm FC}>\overline{\rm FG}\) 이다.
두 번째, 점 \(\rm F\)에서 원 \(\rm ABCD\)의 원둘레 위의 두 점까지의 거리가 같은 선분 두 개가 가장 짧은 선분 양쪽에 각각 하나씩 존재함을 보이자.
선분 \(\rm EF\)의 점 \(\rm E\)에서 \(\angle{\rm FEH}=\angle{\rm GEF}\)되도록 원 둘레 위에 두 점 \(\rm G\), \(\rm H\)를 잡자. 선분 \(\rm FH\)를 그리자. [I권 명제 23]
그러면 두 삼각형 \(\rm EGF\), \(\rm EHF\)에서 \(\overline{\rm GE}=\overline{\rm EH}\)(둘다 반지름)이고 \(\overline{\rm EF}\)는 공통으로 같다. 그리고 \(\angle{\rm GEF}=\angle{\rm HEF}\)이므로 두 밑변 \(\rm EG\), \(\rm FH\)는 \(\overline{]rm EG}=\overline{\rm FH}\)이다. [I권 명제 4]
세 번째, 점 \(\rm F\)로 부터 원둘레 위의 임의의 점까지 그은 또 다른 선분이 없음을 보이자.
선분 \(\rm FG\)의 다른 쪽에 원둘레 위에 점 \(\rm K\)가 있고, 선분 \(\rm FK\)의 길이가 \(\overline{\rm FG}\)이라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm FK}=\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm FH}=\overline{\rm FG}\)이므로 \(\overline{\rm FK}=\overline{\rm FH}\)이다. 이것은 점 \(\rm F\)와 원의 중심을 지나는 선분으로 부터 더 가까운 선분의 길이가 더 먼 선분의 길이와 같다. 이것은 불가능하다. 즉, \(\overline{\rm FK}>\overline{\rm FH}\)인 것에 모순이다.
따라서 \(\overline{\rm FG}\)의 길이인 점 \(\rm F\)로 부터 선분 \(\rm FG\)의 반대쪽 원둘레 위로의 점까지의 선분 \(\rm FH\)가 유일하게 존재한다.
그러므로 주어진 원의 지름에서 중심(중점)이 아닌 어떤 점에 대하여 그 점에서 원둘레의 위의 임의의 점까지 선분을 그리면, 그 중 가장 긴 선분은 윈의 중심을 지나는 것이고, 가장 짧은 것은 지름에서 긴 선분을 뺀 것이고, 다른 선분들도 원의 중심에 가까운 것이 먼 것보다 더 길며, 길이가 같은 선분은 쌍으로 존재하며, 가장 짧은 선분의 양쪽 영역에 하나씩 존재한다.
Q.E.D.
이 명제의 진술은 기를 죽인다. 원 안의 점 \(\rm F\)에서 원둘레의 점까지의 거리에 관한 것이다. 점 \(\rm F\)는 중심이 아니라고 가정한다. 지름 \(\rm AD\)가 점 \(\rm F\)를 지나면 그 중 하나의 점 \(\rm A\)가 점 \(\rm F\)로부터 가장 먼 원둘레 위의 점이고 다른 점 \(\rm D\)는 가장 가까운 점이다. 점 \(\rm A\)에서 점 \(\rm D\)로 원둘레를 따라 점이 이동하면 그 점은 점 \(\rm F\)에 가까워진다. 명제의 마지막 부분은 점 \(\rm G\)가 원둘레 위의 점이라면(물론 점 \(\rm G\)가 점 \(\rm A\)와 점 \(\rm D\)가 아니라고 가정할 때), 점 \(\rm F\)로부터 같은 거리의 다른 점 \(\rm H\)가 정확히 하나 더 있다는 것이다.
이 명제의 진술에는 약간의 혼란이 있다. ‘중심으로 직선까지의 거리가 더 가깝다.’라는 말이 무슨 뜻인지는 알 수 없다. 아마도 각을 가리켜 각 \(\rm BFA\)가 각 \(\rm CFA\)보다 작기 때문에 \(\rm FC\)보다 \(\rm FB\)가 \(\rm FA\)에 더 가까운 것으로 간주될 수 있다. 그렇다면 드모르간(DeMorgan)이 지적한 바와 같이, 중명에는 누락된 세부 사항이 있다. 각 \(\rm BEF\)가 각 \(\rm CEF\)보다 크다고 말하고 있지만, 그것은 증명되지 않았다. 드모르간과 다른 수학자들은 이러한 논리적 격차를 메우기 위한 다양한 방법으로 설명해 왔다.
이 명제는 원론 다른 명제에서 사용되지 않는다.