증명

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첫 번째로 주어진 원 \(\rm ABC\)에 대하여, 점 \(\rm D\)는 원 \(\rm ABC\) 밖에 있다. 점 \(\rm D\)에서 오목한 원둘레 \(\rm AEFC\) 위의 점들까지 네 선분 \(\rm DA\), \(\rm DE\), \(\rm DF\), \(\rm DC\)를 그리자. 단, 선분 \(\rm DA\)는 원의 중심을 지난다.

그러면 점 \(\rm D\)에서 오목한 원둘레 \(\rm AEFC\) 위의 점까지 그린 선분들 중 중심을 지나는 선분 \(\rm DA\)가 가장 길고, 중심을 지나는 선분에 가까운 선분의 길이는 더 먼 선분의 길이 보다 더 길다는 것을 보이자. 즉, 선분 \(\rm DA\)가 가장 크고 \(\overline{\rm DE}>\overline{\rm DF}\)이고 \(\overline{\rm DF}>\overline{\rm DC}\)임을 보이자.

또한 점 \(\rm D\)에서 볼록한 원둘레 \(\rm HLKG\) 위의 점들까지 네 선분 \(\rm DH\), \(\rm DL\), \(\rm DK\), \(\rm DG\)를 그리자. 단, 선분 \(\rm DG\)는 점 \(\rm D\)와 지름 \(\rm AG\) 사이에 있다.

그러면 점 \(\rm D\)에서 볼록한 원둘레 \(\rm HLKG\) 위의 점까지 그린 선분들 중 선분 \(\rm DG\)가 가장 짧고, 선분 \(\rm DG\)에 가까운 선분의 길이는 더 먼 선분의 길이보다 짧다는 것을 보이자. 즉, \(\overline{\rm DG}\)가 가장 작고, \(\overline{\rm DK}<\overline{\rm DL}\)이고 \(\overline{\rm DL}<\overline{\rm DH}\)임을 보이자.

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원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm M\)이라고 하자. 선분들 \(\rm ME\), \(\rm MF\), \(\rm MK\), \(\rm ML\), \(\rm MH\)를 그리자. [III권 명제 1]

그러면 \(\overline{\rm AM}=\overline{\rm EM}\)(둘 다 반지름)이므로 양변에 \(\overline{\rm MD}\)를 더하자. 그러면

\(\overline{\rm AM}+\overline{\rm MD}=\overline{\rm EM}+\overline{\rm MD}\)

\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm EM}+\overline{\rm MD}\)

이다.

그러나 \(\overline{\rm EM}+\overline{\rm MD}>\overline{\rm ED}\)이므로 역시 \(\overline{\rm AD}>\overline{\rm ED}\)이다. [I권 명제 20]

그러나 두 삼각형 \(\rm MED\), \(\rm MFD\)에서 \(\overline{\rm ME}=\overline{\rm MF}\)(둘 다 반지름)이고 \(\overline{\rm MD}\)는 공통 길이로 같으며 \(\angle{\rm EMD}>\angle{\rm FMD}\)이므로 두 빝변 \(\rm ED\), \(\rm FD\)는 \(\overline{\rm ED}=\overline{\rm FD}\)이다. [I권 명제 24]

비슷한 방법으로, \(\overline{\rm FD}>\overline{\rm CD}\)이다. 그러므로 \(\rm DA\)가 가장 크고, \(\overline{\rm DE}>\overline{\rm DF}\)이고 \(\overline{\rm DF}>\overline{\rm DC}\)이다.

다음으로 \(\overline{\rm MK}+\overline{\rm KD}>\overline{\rm MD}\)이고 \(\overline{\rm MG}=\overline{\rm MK}\)(둘 다 반지름)이므로

\(\overline{\rm MK}+\overline{\rm KD}-\overline{\rm MK}>\overline{\rm MD}-\overline{\rm MG}\)

\(\overline{\rm KD}>\overline{\rm DG}\)

이다. [I권 명제 20]

그리고 삼각형 \(\rm MLD\)의 한 변 \(\rm MD\)를 공통으로 하고, 두 선분 \(\rm MK\), \(\rm MD\)가 삼각형 내부에서 만나도록 그리자. 그러면 \(\overline{\rm MK}+\overline{\rm KD}<\overline{\rm ML}+\overline{\rm LD}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm MK}=\overline{\rm ML}\)이므로

\(\overline{\rm MK}+\overline{\rm KD}-\overline{\rm MK}<\overline{\rm ML}+\overline{\rm LD}-\overline{\rm ML}\)

\(\overline{\rm KD}<\overline{\rm LD}\)

이다. [I권 명제 21]

같은 방법으로 \(\overline{\rm DL}<\overline{\rm DH}\) 임을 보일 수 있다. 그러므로 \(\rm DG\)가 가장 작고, \(\overline{\rm DK}<\overline{\rm DL}\)이고 \(\overline{\rm DL}<\overline{\rm DH}\)이다.

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두 번째로 점 \(\rm D\)에서 원 \(\rm ABC\) 위의 어떤 점들에 그인 길이가 같은 두 개의 선분은 가장 짧은 선분 \(\rm DG\)의 양 쪽에 하나씩 존재함을 보이자.

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선분 \(\rm MD\)와 점 \(\rm M\)에서 \(\angle\rm DMB = \angle\rm KMD\)가 되도록 작도하자. 선분 \(\rm DB\)를 그리자. [I권 명제 23]

그러므로 두 삼각형 \(\rm DMB\), \(\rm KMD\)에서 \(\overline{\rm MK}=\overline{\rm MB}\)(둘 다 반지름)이고 \(\overline{\rm MD}\)는 공통으로 같고, \(\angle\rm KMD = \angle\rm BMD\)이다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm DMB\), \(\rm KMD\)은 합동(SAS 합동)이므로 대응하는 두 밑변 \(\rm DK\), \(\rm DB\)은 \(\overline{\rm DK}=\overline{\rm DB}\)이다. [I권 명제 4]

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그 다음으로 점 \(\rm D\)에서 선분 길이가 \(\overline{\rm DB}\)와 같은 \(\overline{\rm DK}\)인 원 위의 점에 내린 또 다른 선분이 존재 하지 않음을 보이자.

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이러한 선분이 존재한다고 가정하자. 그러한 선분을 선분 \(\rm DN\)이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm DK}=\overline{\rm DN}\) 그리고 \(\overline{\rm DK}=\overline{\rm DB}\)이므로 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm DN}\)이다. 다시 말해서 가장 짧은 선분 에 가까운 선분의 길이가 더 먼 선분의 길이와 같다. 이것은 불가능하다. 즉, \(\overline{\rm DB}<\overline{\rm DN}\)이란 사실에 모순이다. [위에서]

따라서 길이가 같은 두 선분이 가장 짧은 선분 \(\rm DG\) 양쪽에 각각 하나씩 존재한다.

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그러므로 주어진 원의 밖의 임의의 점을 잡자. 그 점에서 원둘레 위의 임의의 점까지 선분을 그려서, 한 선분이 원의 중심을 지나도록 긋고, 다른 선분들은 임의로 그리면 원둘레의 오목한 부분에 닿은 직선들 중에서 중심을 지나는 것이 가장 길고, 다른 직선들은 중심을 지나는 선분에 가까우면 가까울수록 멀리 있는 것들 보다 더 길다. 반대로, 원둘레의 볼록한 부분에 있는 선분들 중에서 그 점과 지름 사이에 놓이는 직선이 가장 짧고 다른 선분들은 가장 짧은 직선에 가까우면 가까울수록 멀리 있는 것들 보다 더 짧다. 길이가 같은 선분은 그 점에서 둘씩 그을 수 있으며, 가장 짧은 선분의 양쪽의 영역에 하나씩 존재한다.

Q.E.D.