증명

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원 \(\rm ABC\)에 원 \(\rm ADE\)가 점 \(\rm A\)에서 내접하고 있고, 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)의 중심을 각각 \(\rm F\), \(\rm G\)이라고 하자.

그러면, 반직선 \(\rm FG\)가 두 원의 접점 \(\rm A\)를 지남을 보이자.

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원 \(\rm ABC\)에 원 \(\rm ADE\)가 점 \(\rm A\)에서 내접하고 있고, 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)의 중심을 각각 \(\rm F\), \(\rm G\)이라고 하자. [III권 명제 1]

반직선 \(\rm FG\)가 두 원의 접점 \(\rm A\)를 지나지 않는다고 하자. 즉, 반직선 \(\rm FG\)와 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)의 교점을 각각 점 \(\rm D\), \(\rm H\)이라고 하자. 세 선분 \(\rm FDGH\), \(\rm AF\), \(\rm AG\)를 그리자.

그러면 \(\overline{\rm AG}+\overline{\rm GF} > \overline{\rm FA}\)이고, \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm FH}\)이므로 \(\overline{\rm AG}+\overline{\rm GF} > \overline{\rm FH}\)이다. 양 변에 \(\overline{\rm FG}\)를 각각 빼면,

\(\overline{\rm AG}+\overline{\rm GF}-\overline{\rm FG} > \overline{\rm FH}-\overline{\rm FG}\)

\(\overline{\rm AG}>\overline{\rm GH}\)

이다. [I권 명제 20]

그러나 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm GD}\)이므로 \(\overline{\rm GD}>\overline{\rm GH}\)이다. 그런데 작은 것이 큰 것 보다 크므로 이것은 불가능하다. 즉, \(\overline{\rm GD}<\overline{\rm GH}\)인 사실에 모순이다.

따라서 선분 \(\rm FG\)는 원 바깥쪽에 놓일 수 없다. 그러므로 반직선 \(\rm FG\)는 두 원 접점 \(\rm A\)를 지난다.

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그러므로 주어진 두 원 중 한 원이 내접하고 있으면, 두 원의 중심을 지나는 직선은 두 원의 접점을 지난다.

Q.E.D.