증명

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주어진 활꼴 \(\rm ABC\)가 있다.

그러면, 활꼴 \(\rm ABC\)를 포함하는 완전한 원 \(\rm ABC\)를 그릴 수 있다는 것을 보이자.

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주어진 활꼴 \(\rm ABC\)가 있다.

선분 \(\rm AC\)는 \(\rm D\)에 의해서 이등분된다. 점 \(\rm D\)에서 선분 \(\rm AC\)에 수직인 선분 \(\rm DB\)를 그리자. [I권 명제 11]

각 \(\rm ADB\)는 삼중론에 의해서 \(\angle\rm ABD>\angle\rm BAD\) 또는 \(\angle\rm ABD=\angle\rm BAD\) 또는 \(\angle\rm ABD<\angle\rm BAD\) 중 하나 만 참이다.

(1) \(\angle\rm ABD>\angle\rm BAD\)라고 하자.

선분 \(\rm BA\)와 그 선분 위의 점 \(\rm A\)에서 \(\angle\rm BAE=\angle\rm ABD\)가 되도록 직선 \(\rm AE\)를 그려서 각 \(\rm DAE\)를 그리자. 그리고 직선 \(\rm BD\)를 그려서 두 직선 \(\rm AE\), \(\rm BD\)_의 교점을 \(\rm E\)라 하고, 선분 \(\rm EC\)를 그리자. [I권 명제 23]

그러면 \(\angle\rm ABE=\angle\rm BAE\)이기 때문에 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm EA}\)이다. [I권 명제 6]

그리고 두 삼각형 \(\rm EAC\), \(\rm ECD\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DC}\)이고, \(\overline{\rm DE}\)는 공통, \(\angle\rm ADE=\angle\rm CDE=90^\circ\)이므로 합동(SAS 합동)이다. 따라서 대응하는 두 변 \(\rm AE\), \(\rm CE\)는 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm CE}\)이다. [I권 명제 4]

그러나 위에서 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm BE}\) 임을 보였고, \(\overline{\rm CE}\)와도 같아 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm BE}=\overline{\rm CE}\)이다.

따라서 점 \(\rm E\)를 중심으로 하고 \(\overline{\rm AE}\)(또는 \(\overline{\rm BE}\) 또는 \(\overline{\rm CE}\))를 반지름으로 하는 원 \(\rm ABC\)를 그리면 나머지 점들도 지나고 그리고자 하는 원인 원 \(\rm ABC\)이다. [III권 명제 9]

그러므로 주어진 활꼴 \(\rm ABC\)를 포함하는 완전한 원 \(\rm ABC\)를 그렸다.

또한 점 \(\rm E\)가 활꼴 \(\rm ABC\) 바깥에 있기 때문에 활꼴 \(\rm ABC\)는 반원 보다 작다.

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(2) \(\angle\rm ABD=\angle\rm BAD\)이라고 하자.

\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BD}=\overline{\rm DC}\)이므로 \(\overline{\rm DA}=\overline{\rm DB}=\overline{\rm DC}\)이다. 그러므로 점 \(\rm D\)가 원의 중심이 되면, 활꼴 \(\rm ABC\)는 반원이다.

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(3) \(\angle\rm ABD<\angle\rm BAD\)이라고 하자.

직선 \(\rm BA\)는 한 점 \(\rm A\)에서 \(\angle\rm BAE=\angle\rm ABD\)가 되도록 선분 \(\rm BD\) 위에 점 \(\rm E\)를 잡고 선분 \(\rm AE\)를 그리자. 그러면 점 \(\rm E\)는 활꼴 \(\rm ABC\) 내부에 있고 원 \(\rm ABC\)의 중심이다. 이러한 경우 반 활꼴은 반원 보다 더 크다.

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그러므로 주어진 어떤 활꼴에 대하여, 그 활꼴을 포함하는 완전한 원을 그릴 수 있다.

Q.E.D.