증명

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크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, 각각의 호 \(\rm BC\), \(\rm EF\)는 \(\overset{\frown}{\rm BC}=\overset{\frown}{\rm EF}\)이다. 그리고 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 중심은 점 \(\rm G\), \(\rm H\)이며, 두 호 \(\rm BC\), \(\rm EF\)에 대응하는 각각의 중심각을 각 \(\rm BGC\), 각 \(\rm EHF\)라 하고 각각의 원주각을 각 \(\rm BAC\), 각 \(\rm EDF\)라 하자.

그러면 \(\angle\rm BGC=\angle\rm EHF\)이고, \(\angle\rm BAC=\angle\rm EDF\)임을 보이자.

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크기가 같은 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, 각각의 호 \(\rm BC\), \(\rm EF\)는 \(\overset{\frown}{\rm BC}=\overset{\frown}{\rm EF}\)이다. 그리고 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 중심은 점 \(\rm G\), \(\rm H\)이며, 두 호 \(\rm BC\), \(\rm EF\)에 대응하는 각각의 중심각을 각 \(\rm BGC\), 각 \(\rm EHF\)라 하고 각각의 원주각을 각 \(\rm BAC\), 각 \(\rm EDF\)라 하자.

\(\angle\rm BGC \ne \angle\rm EHF\)이라고 하자. 그러면 두 각 중 한 각이 더 크다.

(1) \(\angle\rm BGC > \angle\rm EHF\)라고 하자.

선분 \(\rm BG\)를 한 변으로 하고 점 \(\rm G\)에서 호 \(\rm BKC\) 위에 점 \(\rm K\)를 잡아 \(\angle\rm BGK=\angle\rm EHF\)인 각 \(\rm BGK\)를 작도하자. [I권 명제 23]

두 중심각이 같으면 이에 대응하는 호의 길이도 같으므로 \(\overset{\frown}{\rm BK}=\overset{\frown}{\rm EF}\)이다. [III권 명제 26]

그러나 \(\overset{\frown}{\rm EF}=\overset{\frown}{\rm BC}\)이므로 역시 \(\overset{\frown}{\rm BK}=\overset{\frown}{\rm BC}\)이다. 이것은 작은 것이 큰 것과 같아져서 불가능하다. 즉, \(\overset{\frown}{\rm BK}<\overset{\frown}{\rm BC}\)인 것에 모순이다.

그러므로 \(\angle\rm BGC \not> \angle\rm EHF\)이다.

(2) 같은 방법으로 \(\angle\rm BGC \not< \angle\rm EHF\)임을 보일 수 있다.

따라서 \(\angle\rm BGC = \angle\rm EHF\)이다.

그리고 \(\angle\rm A = \frac12 \angle\rm BGC\), \(\angle\rm D = \frac12 \angle\rm EHF\)이다.

\(\angle\rm A= \frac12 \angle\rm BGC = \frac12 \angle\rm EHF = \angle\rm D\)

\(\angle\rm A = \angle\rm D\)

이다.

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그러므로 크기가 같은 원둘레에서 대하여, 길이가 같은 호들에 대응하는 각들은 크기가 서로 같다. 그리고 중심에 있는 각(중심각)은 중심에 있는 각끼리 크기가 같고 원둘레에 있는 각(원주각)은 원둘레에 있는 각끼리 크기가 같다.

Q.E.D.