증명

---

원 \(\rm ABCD\)의 중심을 지나지 않는 두 현 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만난다.

그러면, 이 두 현 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 서로를 동시에 이등분할 수 없음을 보이자.

---

원 \(\rm ABCD\)의 중심을 지나지 않는 두 현 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나고, 이 두 현이 동시에 서로를 이등분한다고 가정하자. 그러면 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EC}\)이고 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm ED}\)이다.

원 \(\rm ABCD\)의 중심을 \(\rm E\)라 하고 현 \(\rm EF\)를 그리자. [3권 정리 1]

그러므로 \(\angle\rm FEA = 90^\circ\)이다. \(\cdots\cdots\)①

또한 직선 \(\rm EF\)가 선분 \(\rm BD\)를 이등분하므로 현 \(\rm BD\)를 수직이등분하게 된다. [3권 정리 3]

그러므로 \(\angle\rm FEB = 90^\circ\)이다. \(\cdots\cdots\)②

①과 ②에 의하여 \(\angle\rm FEA=\angle\rm FEB\)이다. 그런데 작은 것이 큰 것과 같게 되어 모순이다. 즉, \(\angle\rm FEA < \angle\rm FEB\)이라는 사실에 모순이다.

따라서 중심을 지나지 않는 두 현 \(\rm AC\)와 \(\rm BD\)는 동시에 서로를 이등분할 수 없다.

---

그러므로 주어진 원의 중심을 지나지 않는 두 현이 교차하면, 이 두 선분(현)은 서로를 동시에 이등분 할 수 없다.

Q.E.D.