증명

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주어진 원 \(\rm ABC\)와 두 선분으로 이루어진 주어진 각 \(\angle \rm D\)가 있다.

그러면 원 \(\rm ABC\)에서 \(\angle\rm BAC=\angle\rm D\)인 활꼴 \(\rm BAC\)를 잘라 낼 수 있음을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABC\)와 두 선분으로 이루어진 주어진 각 \(\angle \rm D\)가 있다.

직선 \(\rm EF\)를 원 \(\rm ABC\) 위의 점 \(\rm B\)에서 접하도록 그리자. 선분 \(\rm FB\)의 한 끝 점 \(\rm B\)에서 \(\angle\rm FBC=\angle\rm C\)인 각 \(\rm FBC\)를 작도하자. [III권 명제 17, I권 명제 23]

그러면 직선 \(\rm EF\)가 원 \(\rm ABC\)에 접하고, 점 \(\rm B\)에서 선분 \(\rm BC\)를 그렸기 때문에 각 \(\rm FBC\)와 반대쪽 활꼴각 \(\rm BAC\)는 \(\angle\rm FBC=\angle\rm BAC\)이다.

그런데 \(\angle\rm FBC=\angle\rm D\)이므로 \(\angle\rm ABC=\angle\rm D\)이다.

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그러므로 주어진 원과 주어진 각에 대하여, 내부 원주각이 주어진 각과 같은 크기가 되는 활꼴을 잘라 낼 수 있다.

Q.E.D.