III 권
명제
주어진 원의 원둘레에 임의의 두 점을 잡고 이를 이은 선분은 원 안쪽에 놓인다.
주어진 원 \(\rm ABC\)의 원둘레 위의 임의의 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)에 대하여 선분(현) \(\rm AB\)는 원의 안쪽에 놓인다.
주어진 원 \(\rm ABC\)의 원둘레 위의 임의의 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)가 있다.
그러면, 선분(현) \(\rm AB\)는 원의 안쪽에 놓인다는 것을 보이자.
원 \(\rm ABC\) 가 있는데 원 둘레에서 임의의 두 점 \(\rm A\), \(\rm B\)를 잡는다.
만약 선분 \(\rm AB\)가 원 바깥쪽(외부)에 놓인다고 가정하면 바깥에 놓인 점을 \(\rm E\)라하고 그 선분을 \(\rm AEB\)라 하자.
원 \(\rm ABC\) 의 중심을 점 \(\rm D\)라 하자. [3권 정리1]
\(\overline{\rm DA}=\overline{\rm DB}\)이므로 \(\angle\rm DAE=\angle \rm DBE\)이다. [1권 정의 15, 정리5]
삼각형 \(\rm DAE\)의 한 변을 길게 늘여서 선분 \(\rm AEB\)를 그었으니, \(\angle\rm DEB>\angle \rm DAE\)이다. [1권 정리16]
그런데 \(\angle\rm DAE=\angle \rm DBE\)이므로 \(\angle\rm DEB>\angle \rm DBE\)이다.
큰 각과 마주 보는 변의 길이가 더 길다. [1권 정리19, 정의 15]
그러므로 \(\overline{\rm DB}>\overline{\rm DE}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm DF}\)이므로 \(\overline{\rm DF}>\overline{\rm DE}이다. 이는 모순이다.
따라서 점 \(\rm A\)와 점 \(\rm B\)를 잇는 선분 \(\rm AB\)는 원 바깥 쪽에 놓이지 않으므로 원 안쪽에 놓인다.
그러므로 주어진 원의 원둘레에 임의의 두 점을 잡고 이를 이은 선분은 원 안쪽에 놓인다.
Q.E.D.
이 명제에 대한 그림은 다소 이상하지만 불가능한 것으로 보이는 가상의 상황을 의미하기 때문에 필요한 부분이다. 이 그림에서 선분 \(\rm AEB\)는 원 밖에 있는 선분이어야 한다. 이 책의 나중 명제는 다른 불가능한 그림이 있다.
유클리드가 이 명제 조차 포함시키었다는 것은 놀랍다. 물론 포함되어야하지만, 이전 책에서 빠진 똑같은 명백한 명제(그러나 증명하기 어렵다)가 있다. 예를 들어 선분 \(\rm AB\)의 평면에 구성된 두 원이 교차하는 것은 I권 명제 1에서 사용되었지만 증명하지는 않았다. 이것은 이전 책 보다 이 책의 기초에 더 많은 주의를 기울였음을 나타낸다.
유클리드는 선분 \(\rm AB\)가 원 둘레 위에 놓일 수 없다는 것을 증명하는 것은 독자들에게 남겨 놓았다. 이는 특히 증명하기는 어렵지 않다.
이 명제는 III권 명제 13에서 사용된다.