III 권
명제
주어진 두 원이 서로를 자르고 지나면, 이 두 원의 중심이 같을 수 없다.
주어진 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDG\)가 서로 다른 두 점에서 만나면 이 두 원의 중심은 같을 수 없다.
주어진 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDG\)가 서로 다른 두 점에서 만난다.
그러면, 이 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDG\)의 중심은 같을 수 없다는 것을 보이자.
증명
두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDF\)가 그림과 같이 서로 다른 두 점 \(\rm B\), \(\rm C\)에서 만난다고 하자.
이제 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDF\)의 중심이 다름을 보이자.
두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDF\)의 중심이 같다고 가정하자. 그 공통 중심을 \(\rm E\)라 하자. 선분 \(\rm EC\)를 그리자. 세 점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\)가 일직선 위에 있도록 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDF\) 위에 각각 점 \(\rm F\), \(\rm G\)를 잡자. 선분 \(\rm EFG\)를 그리자.
그러므로 점 \(\rm E\)는 원 \(\rm ABC\)의 중심이므로 \(\overline{\rm EC}=\overline{\rm EF}\)이다. 또한 점 \(\rm E\)는 원 \(\rm CDF\)의 중심이므로 \(\overline{\rm EC}=\overline{\rm EG}\)이다. [I권 정의 15]
따라서 \(\overline{\rm EC}=\overline{\rm EF}\)이고 \(\overline{\rm EC}=\overline{\rm EG}\)이므로 \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm EG}\)이다.
그러나 이것은 작은 것이 큰 것과 같아 모순이다. 즉, \(\overline{\rm EF}<\overline{\rm EG}\)인 것에 모순이다.
따라서 점 \(\rm E\)는 동시에 두 원 \(\rm ABC\)와 \(\rm CDF\)의 중심이 될 수는 없다.
그러므로 주어진 두 원이 서로를 자르고 지나면, 이 두 원의 중심이 같을 수 없다.
Q.E.D.
점 \(\rm B\)는 증명에서 사용되지 않았다. 즉, 증명은 실제로 두 원이 만나면 중심이 같지 않으며 이 명제 뿐만 아니라 ‘두 개의 원이 서로 접한다’인 다음 명제에도 역시 적용된다.
이 명제는 III권 명제 10에서 사용되며 원은 두 점 이상에서 교점을 가질 수 없다.