증명

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두 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm CFD\)는 각각 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)인 주어진 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\)을 할선으로 하는 닮음 활꼴이다.

그러면, 두 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm CFD\)는 서로 같다는 것을 보이자.

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두 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm CFD\)는 각각 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)인 주어진 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\)을 할선으로 하는 닮음 활꼴이다.

활꼴 \(\rm AEB\)를 활꼴 \(\rm CFD\)에 이동하여 겹쳐 놓자.

점 \(\rm A\)를 점 \(\rm C\) 위에, 선분 \(\rm AB\)를 선분 \(\rm CD\) 위에 놓자. 그러면 이므로 점 \(\rm B\)는 점 \(\rm D\) 위에 놓이게 된다. \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)이기 때문에 두 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm CFD\)도 역시 일치하게 된다.

왜냐하면, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CD}\)이고 활꼴 \(\rm AEB\)가 활꼴 \(\rm CFD\)와 일치하지 않는다고 하자. 그러면 활꼴 \(\rm AEB\)가 활꼴 \(\rm CFD\)의 안쪽에 놓이거나 바깥쪽에 놓이거나 또는 활꼴 \(\rm CGD\) 처럼 굽어서 놓이게 된다.

그런데 안쪽이나 바깥쪽에 놓일 수 없다. [III권 명제 23]

만약 활꼴 \(\rm CGD\) 처럼 놓이면 어떤 원이 다른 원을 두 점보다 많은 곳에서 교점을 갖는다. 이것은 불가능하다. [III권 명제 10]

따라서 선분 \(\rm AB\)를 선분 \(\rm CD\)에 겹쳐 놓으면, 활꼴 \(\rm AEB\)는 활꼴 \(\rm CFD\)에 역시 일치하게 된다. 그러므로 두 활꼴 \(\rm AEB\), \(\rm CFD\)는 서로 같다.

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그러므로 같은 길이인 주어진 두 선분에 대하여, 닮은꼴 활꼴들을 만들면 그 활꼴들은 서로 같다.

Q.E.D.