증명

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점 \(\rm D\)는 주어진 원 \(\rm ABC\)의 내부에 있다. 점 \(\rm D\)에서 원 \(\rm ABC\)의 원둘레 위의 임의의 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)에 그은 세 선분 \(\rm DA\), \(\rm DB\), \(\rm DC\)를 그리자.

그러면, \(\overline{\rm DA}=\overline{\rm DB}=\overline{\rm DC}\)이면, 점 \(\rm D\)가 원 \(\rm ABC\)의 중심 임을 보이자.

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점 \(\rm D\)는 주어진 원 \(\rm ABC\)의 내부에 있다. 점 \(\rm D\)에서 원 \(\rm ABC\)의 원둘레 위의 임의의 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)에 그은 세 선분 \(\rm DA\), \(\rm DB\), \(\rm DC\)를 그리자.

두 현 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 그리자. 이 들 두 현의 각각의 점 \(\rm E\), \(\rm F\)에서 이등분한 각각의 직선 \(\rm ED\), \(\rm FD\)를 그리자. 직선 \(\rm ED\)와 원과의 교점을 \(\rm G\), \(\rm K\)이라하고, 직선 \(\rm FD\)와 원과의 교점을 \(\rm H\), \(\rm L\)이라고 하자. [I권 명제 10]

두 삼각형 \(\rm DAE\)와 \(\rm DBE\)에서 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EB}\)이고, \(\overline{\rm ED}\)는 공통, \(\overline{\rm DA}=\overline{\rm DB}\)이므로 합동이다.(SSS 합동) 따라서 \(\angle{\rm AED}=\angle{\rm BED}\)이다. [I권 명제 8]

그러므로 \(\angle{\rm AED}=\angle{\rm BED}=90^{\circ}\)이다. 그러므로 현 \(\rm GK\)는 현 \(\rm AB\)를 수직으로 이등분한다. 그리고 원의 현이 다른 현을 수직으로 이등분하면 그 현은 원의 중심을 지난다. 그러므로 현 \(\rm GK\)는 원 \(\rm ABC\)의 중심을 지난다. [III권 명제 1 따름 정리]

같은 이유로, 현 \(\rm HL\)은 원 \(\rm ABC\)의 중심을 지난다.

그리고 두 현 \(\rm GK\), \(\rm HL\)은 다른 공통 교점은 없고, 단지 점 \(\rm D\)에서 만난다. 그러므로 점 \(\rm D\)는 원 의 중심이다.

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그러므로 주어진 원 내부에 임의의 점에 대하여, 그 점에서 원둘레로 길이가 같은 선분을 두 개 보다 많이 그을 수 있다고 하면 그 점은 원의 중심이다.

Q.E.D.