Proposition 20 of Book III

주어진 원의 중심에서 만든 각(중심각)과 원둘레에서 만든각(원주각)이 같은 호를 밑변으로 가지면, 중심에서 만든 각의 크기는 원둘레에서 만든 각의 크기의 두 배가 된다.

주어진 원 $A B C$ 의 중심을 $E$ 라고 하고 중심각인 각 $B E C$ 과 원주각인 각 $B A C$ 가 같은 호 $B C$ 를 밑변으로 하고 있으면, $∠ B E C = 2 ∠ B A C$ 이다.

주어진 원 $A B C$ 의 중심을 $E$ 라고 하고 중심각인 각 $B E C$ 과 원주각인 각 $B A C$ 가 같은 호 $B C$ 를 밑변으로 하고 있다.

그러면, $∠ B E C = 2 ∠ B A C$ 임을 보이자.

주어진 원 $A B C$ 의 중심을 $E$ 라고 하자. 중심각인 각 $B E C$ 과 원주각인 각 $B A C$ 가 같은 호 $B C$ 를 밑변으로 하고 있다.

직선 $A C$ 와 원 $A B C$ 와 교점을 점 $F$ 라고 하자.

그러면 $\overset{―}{E A} = \overset{―}{E B}$ 이면, $∠ E A B = ∠ E B A$ 이다. 그러므로 $∠ E A B + ∠ E B A = 2 ∠ E A B$ 이다. [I권 명제 5]

따라서 $∠ B E F = ∠ E A B + ∠ E B A$ 이므로 $∠ B E F = ∠ E A B + ∠ E B A = 2 ∠ E A B$ 이다. [I권 명제 32]

같은 이유로 $∠ F E C = 2 ∠ E A C$ 이다.

그러므로 $∠ B E C = ∠ B E F + ∠ F E C = 2 ∠ E A B + 2 ∠ E A C = 2 (∠ E A B + ∠ E A C) = 2 ∠ B A C$ 이다.

다시, 또 다른 지선을 그어서 다른 각 $B D C$ 를 만들자. 직선 $D E$ 와 원 $A B C$ 와의 교점을 $G$ 이라 하고, 선분 $D G$ 를 그리자.

같은 방법으로 $∠ G E C = 2 ∠ E D C$ 이고, $∠ G E B = 2 ∠ E D B$ 임을 보일 수 있다.

그러므로 $∠ B E C = ∠ G E C - ∠ G E B = 2 ∠ E D C - 2 ∠ E D B = 2 (∠ E D C - ∠ E D B) = 2 ∠ B D C$ 이다.

그러므로 주어진 원의 중심에서 만든 각(중심각)과 원둘레에서 만든각(원주각)이 같은 호를 밑변으로 가지면, 중심에서 만든 각의 크기는 원둘레에서 만든 각의 크기의 두 배가 된다.

Q.E.D.