증명

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주어진 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm E\)라고 하고 중심각인 각 \(\rm BEC\)과 원주각인 각 \(\rm BAC\)가 같은 호 \(\rm BC\)를 밑변으로 하고 있다.

그러면, \(\angle\rm BEC = 2\angle\rm BAC\)임을 보이자.

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주어진 원 \(\rm ABC\)의 중심을 \(\rm E\)라고 하자. 중심각인 각 \(\rm BEC\)과 원주각인 각 \(\rm BAC\)가 같은 호 \(\rm BC\)를 밑변으로 하고 있다.

직선 \(\rm AC\)와 원 \(\rm ABC\)와 교점을 점 \(\rm F\)라고 하자.

그러면 \(\overline{\rm EA}=\overline{\rm EB}\)이면, \(\angle\rm EAB=\angle\rm EBA\)이다. 그러므로 \(\angle\rm EAB+\angle\rm EBA=2\angle\rm EAB\)이다. [I권 명제 5]

따라서 \(\angle\rm BEF=\angle\rm EAB+\angle\rm EBA\)이므로 \(\angle\rm BEF=\angle\rm EAB+\angle\rm EBA=2\angle\rm EAB\)이다. [I권 명제 32]

같은 이유로 \(\angle\rm FEC=2\angle\rm EAC\)이다.

그러므로 \(\angle\rm BEC=\angle\rm BEF+\angle\rm FEC=2\angle\rm EAB+2\angle\rm EAC=2 \left(\angle\rm EAB+\angle\rm EAC\right)=2\angle\rm BAC\)이다.

다시, 또 다른 지선을 그어서 다른 각 \(\rm BDC\)를 만들자. 직선 \(\rm DE\)와 원 \(\rm ABC\)와의 교점을 \(\rm G\)이라 하고, 선분 \(\rm DG\)를 그리자.

같은 방법으로 \(\angle\rm GEC=2\angle\rm EDC\)이고, \(\angle\rm GEB=2\angle\rm EDB\)임을 보일 수 있다.

그러므로 \(\angle\rm BEC=\angle\rm GEC-\angle\rm GEB=2\angle\rm EDC-2\angle\rm EDB=2\left(\angle\rm EDC-\angle\rm EDB\right)=2\angle\rm BDC\)이다.

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그러므로 주어진 원의 중심에서 만든 각(중심각)과 원둘레에서 만든각(원주각)이 같은 호를 밑변으로 가지면, 중심에서 만든 각의 크기는 원둘레에서 만든 각의 크기의 두 배가 된다.

Q.E.D.