증명

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주어진 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)가 점 \(\rm A\)에서 외접하고 중심을 각각 \(\rm F\), \(\rm G\)이라고 하자.

그러면, 선분 \(\rm FG\)는 점 \(\rm A\)를 지난다는 것을 보이자.

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두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)가 점 \(\rm A\)에서 외접하고 중심이 각각 \(\rm F\), \(\rm G\)라고 하자. [III권 명제 11]

선분 \(\rm FG\)가 점 \(\rm A\)를 지나지 않는다고 하고 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)의 교점이 각각 \(\rm C\), \(\rm D\)라 하자. 세 선분 \(\rm FCDG\), \(\rm AF\), \(\rm AG\)를 그리자.

그러면 점 \(\rm F\)가 원 \(\rm ABC\)의 중심이므로 \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm FC}\)이다. 또한 점 \(\rm G\)가 원 \(\rm ADE\)의 중심이므로 \(\overline{\rm GA}=\overline{\rm GD}\)이다.

그러나

\(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm DG}=\overline{\rm FA}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm GA}>\overline{\rm FA}+\overline{\rm GA}\)

이므로 삼각형의 두 변의 합보다 나머지 한 변이 더 크다. 이것은 불가능하다. 즉, \(\overline{\rm FA}+\overline{\rm GA}>\overline{\rm FG}\)인 것에 모순이다.

따라서 선분 \(\rm FG\)는 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)의 접점 \(\rm A\)를 반드시 지나야 한다.

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그러므로 주어진 두 원이 외접하고 있으면 두 원의 중심을 지나는 직선은 두 원의 접점을 지난다.

Q.E.D.