증명

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주어진 두 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{E}$가 점 $\mathrm{A}$에서 외접하고 중심을 각각 $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$이라고 하자.

그러면, 선분 $\mathrm{F}\mathrm{G}$는 점 $\mathrm{A}$를 지난다는 것을 보이자.

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두 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{E}$가 점 $\mathrm{A}$에서 외접하고 중심이 각각 $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$라고 하자. [III권 명제 11]

선분 $\mathrm{F}\mathrm{G}$가 점 $\mathrm{A}$를 지나지 않는다고 하고 두 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{E}$의 교점이 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$라 하자. 세 선분 $\mathrm{F}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{G}$, $\mathrm{A}\mathrm{F}$, $\mathrm{A}\mathrm{G}$를 그리자.

그러면 점 $\mathrm{F}$가 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 중심이므로 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{F}\mathrm{C}}$이다. 또한 점 $\mathrm{G}$가 원 $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{E}$의 중심이므로 $\overline{\mathrm{G}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{G}\mathrm{D}}$이다.

그러나

$\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{F}\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{D}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{F}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{G}\mathrm{A}}>\overline{\mathrm{F}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{G}\mathrm{A}}$

이므로 삼각형의 두 변의 합보다 나머지 한 변이 더 크다. 이것은 불가능하다. 즉, $\overline{\mathrm{F}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{G}\mathrm{A}}>\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}$인 것에 모순이다.

따라서 선분 $\mathrm{F}\mathrm{G}$는 두 원 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{E}$의 접점 $\mathrm{A}$를 반드시 지나야 한다.

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그러므로 주어진 두 원이 외접하고 있으면 두 원의 중심을 지나는 직선은 두 원의 접점을 지난다.

Q.E.D.