입체도형은 길이, 폭, 두께를 가진 도형이다.
입체도형의 끝은 면이다.
어떤 직선이 평면과 한 점에서 만나고 그 교점을 지나는 평면 위에 모든 직선과 수직이면 그 직선과 평면을 수직이라고 한다.
두 평면의 교선에 수직이 되도록 한 평면 위에 그은 직선이 다른 평면에도 수직이면 두 평면은 수직이라고 한다.
어떤 직선이 평면과 한 점에서 만나고, 평면 위에 있지 않은 어떤 직선 위의 임의의 한 점을 지나면서 평면에 수직인 직선을 그어 평면과의 교점과 어떤 직선과 평면이 만나는 한 점을 지나는 직선과 어떤 직선 사이의 예각을 직선과 평면 사이의 각이라고 한다.
두 평면이 만나는 교선 위의 한 점을 지나며 수직이며 각각의 평면 위에 있는 두 직선 사이의 각 중 작은 각을 두 평면 사이의 각(이면각)이라고 한다.
두 평면이 서로 만나고 다른 두 평면이 만나며, 이 들 두 이면각의 크기가 같으면 이들 두 평면들 쌍은 같은 크기로 만난다고 한다.
두 평면이 서로 만나지 않으면 이 두 평면은 평행하다고 한다.
같은 개수의 닮은 평면도형들로 둘러싸인 두 입체도형을 ‘닮은 입체도형’이라고 한다.
같은 개수와 같은 크기의 닮은 평면도형으로 둘러싸인 두 입체도형을 ‘닮음이며 같은 입체도형’이라고 한다.
입체각은 모든 선을 향하여 서로 만나고 동일한 표면에 있지 않은 두 개 이상의 선으로 구성된 경사이다. 즉, 입체각은 동일한 표면에 있지 않고 하나의 점으로 구성된 두 개 이상의 평면각에 포함된 각이다.
한 평면에서 한 점으로 향하여 만든 평면도형으로 둘러싸인 입체도형을 각뿔(피라미드)라고 한다.
서로 반대방향에 있는 두 평면도형의 크기가 같고 닮음이며 평행하고 나머지 평면도형을 평행사변형으로 둘러싸인 입체도형을 각기둥이라고 한다.
반원의 지름을 고정시키고 고정된 지름을 중심으로 반원을 회전시켜서 원래 위치로 돌아가게 하여 회전하는 반원에 의해 둘러싸여 만들어진 입체도형을 구(sphere)라고 한다.
고정된 상태가 유지되고 반원이 회전하는 직선(지름)을 구의 축이라고 한다.
구의 중심은 반원의 중심과 같다.
구의 지름은 구의 중심을 지나는 직선과 구 표면의 두 교점을 이은 선분이다.
직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 한 변을 고정하고 직각삼각형을 회전하여 처음 위치로 되돌아오게 하여 형성한 입체도형을 원뿔이라고 한다. 그리고 이 때 고정 시킨 변이 직각을 끼고 있는 나머지 변의 길이와 같으면 ‘직각 원뿔’이라고 한다. 만약 더 짧으면 ‘둔각 원뿔’, 더 길면 ‘예각 원뿔’이라고 한다.
직각삼각형이 회전할 때 고정시킨 변 즉, 직각삼각형이 회전할 때의 회전축을 ‘원뿔의 축’이라고 한다.
선분이 회전하여 만들어진 원을 ‘원뿔의 밑면’이라고 한다.
직사각형(직각의 평행사변형)의 한 변을 고정하고 고정된 변으로 직사각형을 돌려서 처음 위치로 되돌아오도록 하여 형성된 입체도형을 원기둥이라고 한다.
고정된 선분 즉, 직사각형이 회전할 때의 회전축을 ‘원기둥의 축’이라고 한다.
원기둥의 밑변은 서로 반대쪽에 있는 두 직선들이 회전하면서 그려진 두 원을 ‘원기둥의 밑변’이라고 한다.
두 원뿔과 두 원기둥의 축과 밑면의 지름이 비례하면 각각 닮은 원뿔과 닮은 원기둥이라고 한다.
정육면체는 같은 크기의 정사각형 여섯 개로 구성된 입체도형이다.
정팔면체는 같은 크기의 정삼각형 여덟 개로 구성된 입체도형이다.
정이십면체는 같은 크기의 정삼각형 스무 개로 구성된 입체도형이다.
정십이면체는 같은 크기의 정오각형 열두 개로 구성된 입체도형이다.
직선의 일부분은 평면 위에 있고 일부분은 평면 밖에 있을 수 없다.
직선 \(\rm ABC\)의 반직선 \(\rm BA\)는 평면 위에 있고 반직선 \(\rm BC\)는 평면과 교점인 한 점 \(\rm B\)와 만날 수 없다.
두 직선이 서로 만나면 이 두 직선은 한 평면 위에 있으며, 모든 삼각형은 한 평면 위에 있다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나면 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 한 평면 위에 있으며, 모든 삼각형은 한 평면 위에 있다.
두 평면이 서로 만나면, 그들의 공통부분은 직선이다.
두 평면 \(\rm ABD\), \(\rm BCD\)가 서로 만나고 공통부분이 선 \(\rm DB\)이면 선 \(\rm DB\)는 직선이다.
두 직선이 한 점에서 만나고 그 교점에서 두 직선에 수직인 직선은 그 두 직선을 포함하는 평면과도 수직이다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 한 점 \(\rm E\)에서 만나고 교점 에 수직이면 점 \(\rm E\)를 지나고 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 수직인 직선 \(\rm EF\)는 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포한하는 평면과도 수직이다.
세 직선이 한 점에서 만나고 이 교점에서 세 직선에 모두 수직인 직선이 있으면, 세 직선은 한 평면 위에 있다.
세 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\), \(\rm BE\)는 한 점 \(\rm B\)에서 만나고 세 직선에 모두 수직인 직선 \(\rm AB\)가 있으면, 세 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\), \(\rm DE\)는 한 평면 위에 있다.
서로 다른 두 직선이 한 평면에 둘 다 수직이면 두 직선은 서로 평행하다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 한 평면에 수직이면 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 서로 평행하다.
평행한 두 직선에 대하여, 그 두 직선 위에 있는 각각의 점을 이은 직선은 두 평행한 직선을 포함하는 평면 위에 있다.
평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 대하여, 두 직선 위에 있는 임의의 점을 각각 \(\rm E\), \(\rm F\)라 하면, 두 점 \(\rm E\), \(\rm F\)를 지나는 직선 \(\rm EF\)는 두 평행한 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 있다.
평행한 두 직선에 대하여 그 들 중 한 직선이 어떤 평면과 수직이면, 나머지 한 직선도 그 평면과 수직이다.
평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\) 중 한 직선 \(\rm AB\)가 어떤 평면과 수직이면, 직선 \(\rm CD\)도 그 평면과 수직이다.
두 직선이 어떤 직선에 평행하면 그 직선이 두 직선을 포함하는 평면 위에 있지 않아도 두 직선은 평행하다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 직선 \(\rm EF\)와 평행하면, 직선 \(\rm EF\)가 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 있지 않아도 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행하다.
두 선분이 한 끝에서 만나고 또 다른 두 선분이 한 끝점에서 만나며, 두 선분이 다른 두 선분과 각각 평행하면, 이들 두 쌍의 선분들이 같은 평면 위에 있지 않아도 이들이 만드는 각의 크기는 같다.
두 선분 \(\rm AB\)가 한 점 \(\rm B\)에서 만나고 또 다른 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm EF\)가 점 \(\rm E\)에서 만나며 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)가 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm EF\)와 각각 평행하면 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면과 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm EF\)를 포함하는 평면이 일치하지 않아도 두 각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 크기가 같다.
주어진 평면 위에 있지 않은 한 점을 지나며 평면에 수직인 직선을 그릴 수 있다.
주어진 평면 위에 있지 않은 한 점 \(\rm P\)을 지나며 평면에 수직인 직선을 그릴 수 있다.
주어진 평면 위의 임의의 점을 지나며 평면에 수직인 같은 방향의 선분은 단 하나 밖에 없다.
주어진 평면 위의 임의의 점 \(\rm A\)을 지나며 평면에 수직인 같은 방향의 선분은 단 하나 밖에 없다.
두 평면이 한 직선과 수직이면 두 평면은 서로 평행하다.
임의의 직선 \(\rm AB\)에 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)이 수직이면 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)가 서로 평행하다.
두 직선이 한 점에서 만나고 또 다른 두 직선도 한 점에서 만나며, 두 직선은 다른 두 직선에 각각 서로 평행하고 같은 평면 위에 있지 않아도 두 직선은 각각 포함하는 두 평면은 서로 평행하다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)가 한 점 \(\rm B\)에서 만나고 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면 위에 있지 않아도 되는 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)에 각각 평행한 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm EF\)가 한 점 \(\rm E\)에서 만나면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면과 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm EF\)를 포함하는 평면은 평행하다.
평행한 두 평면이 어떤 평면과 만나면 이 들 두 교선(직선)은 평행하다.
평행한 두 평면 \(\rm ABEF\), \(\rm CDGH\)는 평면 \(\rm EFGH\)와 만나고 그들 각각의 두 교선 \(\rm EF\), \(\rm GH\)는 평행하다.
평행한 평면들이 두 직선을 자르면, 그들의 잘린 선분들의 길이의 비율은 같다.
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 대하여, 세 점 \(\rm A\), \(\rm E\), \(\rm B\)와 세 점 \(\rm C\), \(\rm F\), \(\rm D\)가 평행한 세 평면 \(\rm ACGH\), \(\rm EFKL\), \(\rm BDMN\) 위에 각각 있으면, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이다.
어떤 직선이 기준 평면과 수직이면 그 직선을 포함하는 모든 평면은 기준 평면과 수직이다.
어떤 직선 \(\rm AB\)가 기준 평면에 수직이면 직선 \(\rm AB\)를 포함하는 모든 평면은 기준 평면과 수직이다.
서로 만나는 두 평면이 어떤 평면과 수직이면 두 평면의 교선도 어떤 평면에 수직이다.
교선이 \(\rm BD\)인 두 평면 \(\rm ADB\), \(\rm CDB\)는 기준 평면에 수직이면 두 평면 \(\rm ADB\), \(\rm CDB\)의 교선 는 기준 평면과 수직이다.
세 개의 평면각이 어떤 입체각을 만들면 이들 중 어느 두 개의 평면각을 더한 크기는 나머지 한 평면각 크기보다 크다.
세 평면각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\)가 한 점 에서 만나 입체각을 만들면 세 각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\) 중 어느 두 개의 각을 더한 크기는 나머지 한 각의 크기보다 크다.
평면각들에 의해 만들어진 입체각의 평면각을 모두 더해도 \(360^\circ\) 보다 작다.
세 평면각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\)가 점 \(\rm A\)에서 만나 입체각을 만들면 \(\rm\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB<360^\circ\)이다.
주어진 세 평면각에 대하여, 이들 중 어느 것 두 각을 더해도 나머지 한 각 보다 크고, 이 들 각을 만드는 선분의 길이는 모두 같으면, 이 길이가 같은 선분들의 끝 점들을 이어서 만든 세 선분으로 삼각형을 작도할 수 있다.
주어진 세 평면각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\), \(\rm GHK\)에 대하여 이들 중 어느 두 각을 더해도 나머지 한 각 보다 크다고 하자. 즉, \(\rm\angle ABC+\angle DEF>\angle GHK\), \(\rm\angle DEF+\angle GHK>\angle ABC\), \(\rm\angle GHK+\angle ABC>\angle DEF\)이다. 그리고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EF}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HK}\)이라고 하자. 세 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)를 그리자. 그러면 세 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)와 길이가 같은 세 변을 갖는 삼각형을 작도 할 수 있다.
주어진 세 평면각에 대하여 이들 어느 두 개의 각을 더하면 나머지 한 개의 각 보다 더 크다고 하면, 이들 세 각으로 입체각을 만들 수 있다. [XI권 명제 20] 그러므로 세 각을 모두 더한 것은 보다 작다고 가정해야 한다. [XI권 명제 21]
주어진 세 평면각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\), \(\rm GHK\)에 대하여 이들 중 어느 두 개의 각을 더하면 나머지 한 개의 각 보다 크다고 하고 세 각 모두 더하면 \(360^\circ\)보다 작다고 하면 세 각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\), \(\rm GHK\)의 크기와 같은 각들을 가진 입체각을 만들 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\), \(\rm LO\)에 대하여 \({\overline{\rm OR}}^2={\overline{\rm AB}}^2-{\overline{\rm LO}}^2\)이 되도록 선분 \(\rm OR\)을 그릴 수 있다.
어떤 입체도형이 평행한 평면들로 둘러싸여 있으면, 마주보는 두 평면은 크기가 같은 평행사변형이다.
입체도형 \(\rm ABCD-EFGH\)가 평행한 평면들 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\), \(\rm ABHG\), \(\rm DCFE\), \(\rm BCFH\), \(\rm ADEG\)로 둘러싸여 있다고 하면, 마주보는 두 평면 쌍들 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)와 \(\rm ABHG\), \(\rm DCFE\)와 \(\rm BCFH\), \(\rm ADEG\)은 크기가 같은 평행사변형이다.
평행한 면을 갖는 육면체(입체도형)의 양 끝의 면들과 평행한 평면으로 자르면 밑면과 밑면의 넓이의 비는 입체와 입체도형의 부피의 비와 같다.
평행한 면을 갖는 육면체 \(\rm ABRV-HJDC\)를 팽행한 두 평면 \(\rm ABRV\), \(\rm HJDC\)와 평행한 평면 \(\rm EGUF\)로 자르면, 두 밑면 \(\rm AEFV\), \(\rm EHCF\)의 넓이의 비는 두 입체 \(\rm ABRV-EGUF\), \(\rm EGUF-HJDC\)의 부피 비와 같다.
주어진 직선 위의 주어진 한 점에서 주어진 입체각과 같은 입체각을 작도 할 수 있다.
점 \(\rm A\)를 주어진 직선 \(\rm AB\) 위에 주어진 한 점 이라고 하자. 그리고 점 \(\rm D\)에서 입체각은 평면각 \(\rm EDC\), \(\rm EDF\), \(\rm FDC\)로 만들어진 입체각이다. 그러면 직선 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm A\)에서 점 \(\rm D\)의 입체각과 같은 입체각을 작도 할 수 있다.
주어진 선분과 어떤 평행육면체에 대하여, 그 선분을 포함한 평행육면체와 닮음 평행육면체를 같은 방향에 작도 할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\)와 어떤 평행육면체 \(\rm CEHG-GIDJ\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)를 포함한 평행육면체 \(\rm CEHG-GIDJ\)와 닮음 평행육면체를 같은 방향에 작도할 수 있다.
평행육면체는 마주보는 두 면의 대각선들을 포함하는 평면으로 자르면 부피가 이등분된다.
평행육면체 \(\rm AGCD-EFBH\)에 대하여, 마주보는 면의 \(\rm ADHE\), \(\rm GCBF\)의 각각의 대각선 \(\rm CF\), \(\rm DE\)를 포함하는 평면 \(\rm CDEF\)로 평행육면체를 자르면, 평행육면체 \(\rm AGCD-EFBH\)의 부피를 이등분한다.
밑면이 같고 높이가 같은 두 평행육면체에서 옆면의 변들의 끝점들이 같은 직선에 놓여 있으면 두 입체의 부피는 같다.
두 평행육면체 \(\rm DCAF-HBLM\), \(\rm ECAF-KBLN\)이 밑면 로 같고 높이가 같으며 서있는 변들 \(\rm AG\), \(\rm AF\), \(\rm LM\), \(\rm LN\), \(\rm CD\), \(\rm CE\), \(\rm BH\), \(\rm BK\)의 끝점들이 같은 선분 \(\rm FN\), \(\rm DK\)에 위에 놓여 있다고 하면 이 두 평행육면체 \(\rm DCAF-HBLM\), \(\rm ECAF-KBLN\)의 부피는 같다.
밑면이 같고 높이가 같은 두 평행육면체의 옆면의 변들의 끝점들이 같은 직선위에 놓여 있지 않을 때에도 이 두 평행육면체의 부피는 같다.
두 평행육면체 \(\rm CBLA-FDHM\), \(\rm CBLA-GEKN\)이 밑면 \(\rm LACB\)를 공유하고 높이가 같다고 하자. 그리고 옆면의 변들 \(\rm AF\), \(\rm AG\), \(\rm LM\), \(\rm LN\), \(\rm CD\), \(\rm CE\), \(\rm BH\), \(\rm BK\)의 끝점들은 같은 직선에 놓여 있지 않다고 하자. 이러한 경우라도 두 평행육면체 \(\rm CBLA-FDHM\), \(\rm CBLA-GEKN\)의 부피는 같다.
밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 평행육면체들의 부피는 같다.
두 밑면 \(\rm ALBH\)와 \(\rm CRDP\)의 넓이가 같고 각각의 높이 \(\rm AG\)와 \(\rm CO\)의 길이가 같은 두 평행육면체 \(\rm ALBH-GMEK\), \(\rm CRDP-OSFQ\)의 부피는 같다.
높이가 같은 두 평행육면체의 부피 비율은 그들의 밑면들의 넓이 비율과 같다.
높이가 같은 두 평행육면체 \(\rm AIEJ-LMBN\), \(\rm CGFO-RSDQ\)의 부피의 비율은 각각의 밑면 \(\rm AIEJ\), \(\rm CGFO\)의 넓이의 비율과 같다. 즉, (평행육면체 \(\rm AIEJ-LMBN\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CGFO-RSDQ\) 부피) \(=\) (밑면 \(\rm AIEJ\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm CGFO\) 넓이)이다.
닮음인 두 평행육면체는 부피의 비율은 대응하는 변들의 길이의 세 제곱의 비율이다.
두 평행육면체 \(\rm AEGX-VHBW\), \(\rm CFNT-SRDU\)은 닮음이고, 변 \(\rm AE\)가 변 \(\rm CF\)에 대응할 때, (입체도형 \(\rm AEGX-VHBW\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CFNT-SRDU\) 부피) \(=\) \({\overline{\rm AE}}^3\) \(:\) \({\overline{\rm CF}}^3\) 이다.
네 선분들의 길이를 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)라 하고 \(a : b = b : c = c : d\)이 성립한다. 첫 번째 선분과 두 번째 선분에 닮음인 평행육면체들을 작도하였을 때 (첫 번째 평행육면체 부피) \(:\) (두 번째 평행육면체 부피) \(=\) \(a^3 : b^3\)이므로 \(a : d =\) (첫 번째 평행육면체 부피) \(:\) (두 번째 평행육면체 부피)이다.
두 평행육면체의 부피가 같으면, 밑면의 넓이는 높이에 역으로 비례한다. 그리고 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례하는 두 평행육면체의 부피가 같다.
두 평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\), \(\rm CNPQ-MODR\)의 부피가 같으면 각각의 두 밑면 넓이 비는 높이의 역이다. 다시 말해서 아래 비례식이 성립한다.
(밑면 \(\rm AELH\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (평행육면체 CNPQ-MODR 높이(=\(\overline{\rm CT}\))) \(:\) (평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\) 높이(=\(\overline{\rm AG}\)))
그리고 두 평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\), \(\rm CNPQ-MODR\)의 각각의 밑면의 넓이 비가 각각의 높이의 역비이면 두 평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\), \(\rm CNPQ-MODR\)의 부피가 같다. 즉 아래 비례식이 성립한다.
(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (평행육면체 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이(=\(\overline{\rm CT}\))) \(\:\) (평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\) 높이(=\(\overline{\rm AG}\))) 이면 (평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피)이다.
두 평면각의 크기가 같고, 그 들의 꼭짓점에서 각을 포함하는 평면과 한 점에서 만나나며 반직선이 원래 각을 만드는 반직선들과 이루는 각이 같도록 반직선을 그리자. 그 반직선 위의 임의의 점에서 원래 주어진 각을 포함하는 평면에 수직인 선분들을 그려라. 또한 이 선분과 평면의 교점과 각의 꼭짓점을 연결한 선분을 그려라. 그러면 이 선분과 평면의 위에 있지 않은 직선이 만드는 각들은 크기가 같다.
서로 다른 세 점 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)를 잡고, 반직선 \(\rm AB\)와 \(\rm AC\)를 포함하는 평면 \(\alpha\)를 만들자. 서로 다름 세 점 \(\rm D\), \(\rm E\), \(\rm F\)를 잡고, 반직선 \(\rm DE\)와 \(\rm DF\)를 포함하는 평면 \(\beta\)를 만들자. 또한 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\)가 되도록 하자. 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 점 \(\rm G\)에서 \(\alpha\) 위로의 수선의 발 \(\rm L\)을 잡자. 평면 \(\beta\) 위에 있지 않는 점 \(\rm M\)을 \(\rm\angle GAB=\angle MDE\), \(\rm\angle GAC=\angle MDF\)이 되도록 잡자. 그리고 점 \(\rm M\)에서 평면 \(\beta\) 위로의 수선의 발 \(\rm N\)이라고 하자. 그러면 \(\rm\angle GAL=\angle MDN\)이다.
두 평면각의 크기가 같고, 이들의 각 꼭짓점에서 각을 포함하는 평면 위에 있지 않은 선분들을 원래의 각이 같고, 선분들의 길이가 같도록 그려라. 그러면 선분들의 끝 점들에서 평면에 수직이 되도록 그은 선분들의 길이는 같다.
세 선분들이 서로 비례한다고 하자. 그러면 세 선분들을 변으로 하는 평행육면체의 부피는 세 선분들이 길이로 만든 평행육면체의 세 입체각과 같고 두 번째 길이로 세 변으로 만든 평행육면체의 부피와 같다.
세 선분의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)라고 하고,\(a:b=b:c\) (즉,\(ac=b^2\) )를 만족한다고 하자. 그러면, 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분으로 만든 평행면 입체의 부피는 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분으로 만든 평행육면체의 세 입체각과 같고 한 변의 길이가 b인 선분 세 개로 만든 평행육면체 부피와 같다.
네 개의 평행육면체에서 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비가 다른 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비와 같으면 두 입체의 부피의 비가 다른 두 입체의 부피의 비와 같다. 역으로 닮음도형인 네 개의 평행육면체에서 두 입체의 부피의 비가 다른 두 입체의 부피의 비와 같으면 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비가 다른 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비와 같다.
네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)이라고 하자. 그리고 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)를 각각 한 변으로 하는 닮은꼴의 평행육면체를 각각 \(\rm ABIJ-POKQ\), \(\rm CDRS-UTLV\), \(\rm EFWX-XYMa\), \(\rm GHbc-edNf\)라고 하자. 그러면 (평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피)이다.
역으로 네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)을 한 변으로 하는 닮음인 네 개의 평행육면체를 각각 \(\rm ABIJ-POKQ\), \(\rm CDRS-UTLV\), \(\rm EFWX-XYMa\), \(\rm GHbc-edNf\)이라고 하자. 이들 부피가 (평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피)이라고 하자. 그러면 네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)의 길이의 비는 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)이다.
정육면체의 마주보는 면들의 변들의 중점을 지나는 두 평면의 교선은 정육면체의 대각선과 서로를 이등분한다.
정육면체 \(\rm AGHB-CEFD\)의 마주보는 두 면 \(\rm CEFD\), \(\rm AGHB\)의 각각 변들의 중점을 \(\rm K\), \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm O\), \(\rm Q\), \(\rm P\), \(\rm R\)이라고 하자. 네 점 \(\rm K\), \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm N\)을 지나는 평면 \(\rm KLNM\), 네 점 \(\rm O\), \(\rm P\), \(\rm R\), \(\rm Q\)를 지나는 평면 \(\rm OPRQ\)을 작도하자. 이 두 평면 \(\rm KLNM\), \(\rm OPRQ\)의 교선 \(\rm US\)이라고 하자. 정육면체 \(\rm AGHB-CEFD\)의 대각선을 \(\rm DG\)라고 하자. 두 직선 \(\rm US\), \(\rm DG\)의 교점을 \(\rm T\)라고 하자. 그러면 두 선분 \(\rm UT\), \(\rm TS\)는 \(\overline{\rm UT}=\overline{\rm TS}\)이고 두 선분 \(\rm DT\), \(\rm TG\)도 \(\overline{\rm DT}=\overline{\rm TG}\)이다.
높이가 같은 두 각기둥에서, 하나는 밑면이 평행사변형이고 다른 하나는 밑면이 삼각형이며, 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배일 때 두 각기둥의 부피는 같다.
높이가 같은 두 각기둥 \(\rm AEFC-DB\), \(\rm GHK-LMN에서\), 각기둥 \(\rm ABE-CDF\)의 밑면이 평행사변형 \(\rm AEFC\)이고, 각 기둥 \(\rm GHK-LMN\)의 밑면은 삼각형 \(\rm GHK\)라고 하자. 그리고 평행사변형 \(\rm AEFC\)의 넓이가 삼각형 \(\rm GHK\)의 넓이의 두 배라고 하자. 그러면 두 각기둥 \(\rm ABE-CDF\), \(\rm GHK-LMN\)의 부피가 같다.