XI 권
명제
두 평면이 한 직선과 수직이면 두 평면은 서로 평행하다.
임의의 직선 \(\rm AB\)에 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)이 수직이면 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)가 서로 평행하다.
임의의 직선 \(\rm AB\)에 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)이 수직이다.
그러면, 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)가 서로 평행하다는 것을 보이자.
이 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)가 서로 평행하지 않다고 하자. 그러면 이 두 평면은 교선을 가지며 그 교선은 직선이다. [XI권 정의 3, 명제 8] 그 직선을 \(\rm GH\)라고 하자.
직선 \(\rm GH\) 위의 임의의 점 \(\rm K\)를 잡자. 두 직선 \(\rm AK\), \(\rm BK\)를 그리자.
직선 \(\rm AB\)는 평면 \(\rm BEF\)와 수직이다. 그러므로 직선 \(\rm AB\)는 평면 \(\rm CDF\) 위에 있는 직선 \(\rm BK\)와 수직이다. [XI권 정의 3] 그러므로 \(\rm\angle ABK=90^\circ\)이다. 같은 이유로 \(\rm \angle BAK=90^\circ\)이다.
그러므로 삼각형 \(\rm ABK\)에서 \(\rm\angle ABK=\angle BAK=90^\circ\)이다. 이것은 불가능하다. [XI권 명제 17]
따라서 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)는 서로 만나지 않는다. 그러므로 두 평면 \(\rm ACD\), \(\rm BEF\)는 평행하다.
그러므로 두 평면이 한 직선과 수직이면 두 평면은 서로 평행하다.
Q.E.D.
이 증명의 일부는 불필요하다. 직선 \(\rm GH\)는 무관하다. 두 점이 일치하는 경우에는 어떤 한 점이 되므로 그 점을 점 \(\rm K\)라고 할 수 있다. 그런데 증명에서는 다른 경우가 포함되어 있어야 하며 여기서 주어진 직선이 두 평면에 공통점에서 주어진 두 평면 모두와 만나야 한다.
이 명제는 다음 명제 [XI권 명제 15]의 증명에서 사용된다.