증명

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두 평행육면체 \(\rm AIEJ-LMBN\), \(\rm CGFO-RSDQ\)의 높이가 같다.

그러면 두 평행육면체 \(\rm AIEJ-LMBN\), \(\rm CGFO-RSDQ\)의 부피의 비율은 각각의 밑면 \(\rm AIEJ\), \(\rm CGFO\)의 넓이의 비율과 같음을 보이자. 즉, (평행육면체 \(\rm AIEJ-LMBN\) 부피) : (평행육면체 \(\rm CGFO-RSDQ\) 부피) \(=\) (밑면 \(\rm AIEJ\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm CGFO\) 넓이)임을 보이자.

(평행사변형 \(\rm FGHP\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm AIEJ\) 넓이)가 되도록 선분 FG에 붙여서 평행사변형 \(\rm FGHP\)를 작도하자. [I권 명제 45] 평행사변형 \(\rm FGHP\)를 밑면으로 해서 입체도형 \(\rm CGFO-RSDQ\) 높이와 같도록 입체도형 \(\rm FGHP-DSTK\)를 작도하자. [I권 명제 31]

그러면 두 입체도형 \(\rm AIEJ-LMBN\), \(\rm FGHP-DSTK\)는 각각 밑면 \(\rm AIEJ\)와 밑면 \(\rm FGHP\)는 (밑면 \(\rm FGHP\) 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm AIEJ\) 넓이)이고 높이가 \(\overline{\rm FD}\)로 같으므로 입체도형 \(\rm AIEJ-LMBN\), \(\rm FGHP-QRTK\)는 (입체도형 \(\rm AIEJ-LMBN\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm FGHP-QRTK\) 부피)이다. [XI권 명제 31]

평행육면체 \(\rm CHPO-RTKQ\)를 평면 \(\rm DSGF\)로 잘랐는데, 이 평면은 이 평행육면체 양쪽 옆면인 두 평면 \(\rm CRQO\), \(\rm HTKP\)와 평행하므로 (밑면 \(\rm CGFO\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm FGHP\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CGFO-RSDQ\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm FGHP-DSTK\) 부비)이다. [XI권 명제 25]

그런데 두 밑면 \(\rm FGHP\), \(\rm AIEJ\)는 (밑면 \(\rm FGHP\) 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm AIEJ\) 넓이)이고, 두 입체도형 \(\rm GHPF-RTKD\), \(\rm AIEJ-LMBN\)은 (입체도형 \(\rm GHPF-RTKD\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm AIEJ-LMBN\) 부피)이다. 따라서 (평행육면체 \(\rm AIEJ-LMBN\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CGFO-RSDQ\) 부피) \(=\) (밑면 \(\rm AIEJ\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm CGFO\) 넓이)이다.

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그러므로 높이가 같은 두 평행육면체의 부피 비율은 그들의 밑면들의 넓이 비율과 같다.

Q.E.D.