증명

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점 \(\rm A\)를 주어진 직선 \(\rm AB\) 위에 주어진 한 점 이라고 하고 점 \(\rm D\)에서 입체각은 평면각 \(\rm EDC\), \(\rm EDF\), \(\rm FDC\)로 만들어진 입체각이라고 하자.

그러면, 직선 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm A\)에서 점 \(\rm D\)의 입체각과 같은 입체각을 작도 할 수 있다.

선분 \(\rm DF\)의 점 (임의 점을 잡아도 된다.)에서 직선 \(\rm DE\), \(\rm DC\)를 포함한 평면에 수직이 되도록 수선의 발을 \(\rm G\)라고 하고, 선분 \(\rm FG\)를 그려라. [XI권 명제 11] 선분 \(\rm DG\)를 그리자.

직선 \(\rm AB\)의 점 \(\rm A\)에서 \(\rm\angle EDC=\angle BAL\), \(\rm\angle EDG=\angle BAK\)이 되도록 각 \(\rm BAL\), 각 \(\rm BAK\)를 작도하여라. [I권 명제 23]

\(\overline{\rm AK}=\overline{\rm DG}\)가 되도록 선분 \(\rm AK\)를 작도한다. 또한 직선 \(\rm AB\), 직선 \(AL\)을 포함하는 평면에 수직이 되도록 점 \(\rm K\)에서 선분 \(\rm KH\)를 \(\overline{\rm KH}=\overline{\rm GF}\)가 되도록 작도하여라. [XI권 명제 12]

선분 \(\rm AH\)를 그리자. 그러면, 이면각 \(\rm BAL\), \(\rm BAH\), \(\rm HAL\)이 점 \(\rm A\)에서 입체각이 만들어 진다. 이 입체각이 이면각 \(\rm EDC\), \(\rm EDF\), \(\rm FDC\)과 같음을 보이자.

선분 \(\rm AB\), \(\rm DE\)를 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\)가 되도록 잡자. 그리고 직선 \(\rm HB\), \(\rm KB\), \(\rm FE\), \(\rm GE\)를 그리자.

그러면, 선분 \(\rm FG\)가 평면 \(\rm DEC\)와 수직이어서 선분 \(\rm FB\)는 평면 \(\rm DEC\)의 모든 직선과 수직인데 특히 선분 \(\rm FB\)와 만나는 모든 직선과 수직이다. [XI권 정의 3] 그러므로 \(\rm\angle FGD=\angle FGE=90^\circ\)이다. 같은 이유로 \(\rm\angle HKA=\angle HKB=90^\circ\)이다.

또한 \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm GD}\), \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\rm\angle FGD=\angle HKA=90^\circ\)이어서 \(\overline{\rm KB}=\overline{\rm GE}\)이다. [I권 명제 4] \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm GD}\), \(\overline{\rm KH}=\overline{\rm GF}\), \(\rm\angle FGD=\angle HKA=90^\circ\) 이어서 \(\overline{\rm HB}=\overline{\rm FE}\)이다. [I권 명제 4] \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm GD}\), \(\overline{\rm KH}=\overline{\rm GF}\), \(\rm\angle FGD=\angle HKA=90^\circ\) 이어서 \(\overline{\rm AH}=\overline{\rm FD}\)이다. [I권 명제 4]

그리고 역시 \(\rm\angle BAL=\angle EDC\)이다. 따라서 선분 \(\rm AB\)의 한 점 \(\rm A\)에 점 \(\rm D\)에 주어진 입체각과 같은 각을 작도하였다.

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그러므로, 주어진 직선 위의 주어진 한 점에서 주어진 입체각과 같은 입체각을 작도 할 수 있다.

Q.E.D.