증명

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1) 두 평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\), \(\rm CNPQ-MODR\)의 부피가 같다고 하자.

그러면 평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\), \(\rm CNPQ-MODR\)의 각각의 밑면 넓이의 비가 높이의 역임을 보이자. 아래의 비례식을 보이자.

(밑면 \(\rm ELHA\)의 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\)의 넓이) = (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\)의 높이(=\(\overline{\rm CM}\))) : (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\)의 높이(\(=\overline{\rm AG}\)))

변들이 밑변과 수직이라고 하자. 다시 말해 선분 \(\rm AG\), \(\rm EF\), \(\rm LB\), \(\rm HK\), \(\rm CM\), \(\rm NO\), \(\rm PD\), \(\rm QR\)이 밑면 \(\rm ELHA\)와 수직이라고 하자.

그러면 (밑면 \(\rm ELHA\)의 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\)의 넓이) \(=\) \(\overline{\rm CM}:\overline{\rm AG}\)를 보이자.

높이가 같은 평행육면체들은 부피 비율이 밑면의 넓이 비율과 같으므로 [XI권 정의 32], (밑면 \(\rm ELHA\)의 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm NPQC\)의 넓이)이면 \(\overline{\rm CM}=\overline{\rm AG}\)이다. 만약 (밑면 ELHA의 넓이) (밑면 NPQC의 넓이)이면, (평행육면체 AELH-GFBK 부피) = (평행육면체 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피)이다. 그러므로 두 평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\), \(\rm CNPQ-MODR\)의 밑면들의 넓이는 이들 입체에 대한 높이의 역으로 비례한다.

다음으로 (밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(\ne\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이)이고, 일반성을 잃지 않고 (밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(>\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이)이라고 하자.

(입체 AELH-GFBK 부피) = (입체 CNPQ-MODR 부피)이므로 \(\overline{\rm CM}>\overline{\rm AG}\)이다.

그래서 가 되도록 선분 \(\rm CT\)를 작도하자. 그리고 밑변 \(\rm NPQC\)과 높이 \(\overline{\rm CT}\)인 평행육면체 \(\rm CNPQ-MODR\)을 작도하자. [I권 명제 3, I권 명제 31]

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피)이고, (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(\ne\) (입체도형 \(\rm CNPQ-TUVS\) 부피)이다.

\(a=b\)이면 \(a:b=1:1\)이므로 [5권 명제 7],

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CNPQ-TUVS\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피) : (입체 \(\rm CNPQ-TUVS\) 부피)

이다. 그런데 두 입체도형 \(\rm AELH-GFBK\), \(\rm CNPQ-TUVS\)의 각각 높이 선분 CT와 선분 AG가 \(\overline{\rm CT}=\overline{\rm AG}\) 이므로

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CNPQ-TUVS\) 부피) \(=\) (밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이)

이다. [XI권 명제 32] 그리고,

(입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CNPQ-TUVS\) 부피) \(=\) (밑면 \(\rm MCQR\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm TCQS\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm CM} : \overline{\rm CT}\)

이다. [XI권 명제 25, 6권 명제 1] 그러므로,

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm CM} : \overline{\rm CT}\)

이다. 그런데 \(\overline{\rm CT}=\overline{\rm AG}\)이므로 /p>

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC \)넓이) \(=\) \(\overline{\rm CM} : \overline{\rm AG}\)

이다. 그러므로

(평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\) 밑면 넓이) \(:\) (평행육면체 \(\rm CNPQ-MODR\) 밑면 넓이) \( =\) (평행육면체 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

이다.

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2) 역을 증명하여 보자.

평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\), \(\rm CNPQ-MODR\)에서

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 밑면 넓이) \(:\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 밑면 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

이라고 가정하자. 즉,

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm CM} : \overline{\rm AG}\)

이라고 가정하자. 그러면

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피)

임을 보여야 한다.

입체도형의 모든 옆 변들이 밑면에 수직으로 한 점에서 만난다고 하자.

만약, (밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이)이면,

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm CM} : \overline{\rm AG}\) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

이기 때문에

(입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

이다. 그런데 밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 평행육면체들의 부피가 같으므로 [XI권 명제 31],

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피)

이다. 다음으로

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(\ne\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이)이고, (밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(>\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) 이라고 가정하자. 그러면

(입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(>\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이) 즉, \(\overline{\rm CM}>\overline{\rm AG}\)이다.

그리고, \(\overline{\rm CM}=\overline{\rm AG}\)가 되도록 선분 \(\rm CT\)를 그리고, 입체도형 \(\rm CNPQ-TUVS\)를 작도하자. [I권 명제 3, I권 명제 31]

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm CM} : \overline{\rm AG}\) 이고, \(\overline{\rm CM}=\overline{\rm AG}\)이다.

이므로

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm CM}\) : \(\overline{\rm CT}\)

이다. 그런데

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNQC-RUVS\) 높이)

이고 [XI권 명제 32],

\(\overline{\rm CM} : \overline{\rm CT}\) \(=\) (밑면 \(\rm MCQR\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm RCQS\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CNPQ-RUVS\) 부피)

이기 때문에[6권 명제 1, XI권 명제 25],

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CNQC-RUVS\) 부피)

이다. 그러므로

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CNQC-RUVS\) 부피) \( =\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CNQC-RUVS\) 부피)

이다. [5권 명제 9]

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3) 다음으로 선분 \(\rm FE\), \(\rm BL\), \(\rm GA\), \(\rm HK\), \(\rm ON\), \(\rm DP\), \(\rm MC\), \(\rm RQ\)가 밑면 \(\rm ELHA\)와 수직이 아니라고 하자. 점 \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm B\), \(\rm K\), \(\rm O\), \(\rm M\), \(\rm D\), \(\rm R\)에서 두 밑면 \(\rm ELHA\), \(\rm NPQC\)와 수직이 되도록 직선을 그리자. 그리고 평면 \(\rm ELHA\), \(\rm NPQC\)와 교점을 점 \(\rm S\), \(\rm T\), \(\rm U\), \(\rm V\), \(\rm W\), \(\rm X\), \(\rm Y\), \(\rm Z\)이라고 하자. 그리고 입체도형 \(\rm FBKG-SUVT\)와 입체도형 \(\rm ODRM-WYaX\)를 작도하자. 그러면

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피)

이면

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 밑면 넓이) \(:\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 밑면 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

임을 보이자. 즉,

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이(=\(\overline{\rm BU}\))) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이(=\(\overline{\rm DY}\)))

임을 보이자.

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (밑면 \(\rm FBKG\) 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이) \(=\) (밑면 \(\rm FBKG\)의 넓이) \(\times\overline{\rm FS}\) \(=\) (밑면 \(\rm FBKG\)의 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 부피)

이다.[XI권 명제 29, 명제 30] 따라서

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피) 이고, (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 부피) 이다. 같은 이유로

(입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피) \(=\) (밑면 \(\rm RMOD\) 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(=\) (밑면 \(\rm RMOD\) 넓이) \(\times\overline{\rm FZ}\) \(=\) (밑면 \(\rm RMOD\) 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 부피)

이다. [XI권 명제 29, 명제 30] 따라서

(입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 부피)

이다. 그러므로

(입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 부피)

이다. 그러므로

(밑면 \(\rm FBKG\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm ODRM\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이)

이다.[위의 증명과정] 또한

(밑면 \(\rm FBKG\)의 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm ELHA\) 넓이)이고, (밑면 \(\rm ODRM\) 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이)이므로

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이)

이다. 그런데,

(입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-PQCN\) 높이)이고, (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

이므로

(입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이)

이다. 그러므로,

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

이다. 따라서

(평행육면체 \(\rm AELH-GFBK\) 밑면 넓이) \(:\) (평행육면체 \(\rm CNPQ-MODR\) 밑면 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 밑면 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 밑면 높이)

이다.

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4)역을 증명하자.

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 밑면 넓이) \(:\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 밑면 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

이라 하자. 그러면

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이) \(=\) \(\overline{\rm CM}:\overline{\rm AG}\)

이라고 하고,

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피)

임을 보여야 한다.

앞에서 그림 처럼 입체도형들을 만들자.

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

<이고/p>

(밑면 \(\rm ELHA\) 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm FBKG\) 넓이), (밑면 \(\rm NPQC\) 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm ODRM\) 넓이)

이므로

(밑면 \(\rm FBKG\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm ODRM\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이)

이다. 그런데

(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이)

이고,

(입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\)높이) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이)

이다. 그러므로

(밑면 \(\rm FBKG\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm ODRM\) 넓이) = (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이)

이다. 따라서

(입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 넓이) \(:\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이) \(:\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이)

이다. 그러므로

(입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 부피)

이다. 그런데

(입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 밑면 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 높이) \(=\)(입체도형 \(\rm BKGF-UVTS\) 밑면 넓이) \(\times\) \(\overline{\rm BU}\)\(=\)(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 밑면 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 높이) \(=\)(입체도형 \(\rm AELH-GFBK\)의 부피)

이다. [XI권 명제 29, 명제 30]

(입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 밑면 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm DRMO-YaXW\) 밑면 넓이) \(\times\) \(\overline{\rm BU}\) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 밑면 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피)

이다. [XI권 명제 29, 명제 30]

그러므로 (입체도형 \(\rm AELH-GFBK\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CNPQ-MODR\) 부피) 이다.

Q.E.D.