유클리드 원론
XI권
어떤 직선이 평면과 한 점에서 만나고 그 교점을 지나는 평면 위에 모든 직선과 수직이면 그 직선과 평면을 수직이라고 한다.
두 평면의 교선에 수직이 되도록 한 평면 위에 그은 직선이 다른 평면에도 수직이면 두 평면은 수직이라고 한다.
어떤 직선이 평면과 한 점에서 만나고, 평면 위에 있지 않은 어떤 직선 위의 임의의 한 점을 지나면서 평면에 수직인 직선을 그어 평면과의 교점과 어떤 직선과 평면이 만나는 한 점을 지나는 직선과 어떤 직선 사이의 예각을 직선과 평면 사이의 각이라고 한다.
[정의 3]에서 직선은 평면과 만나고 평면에 있는 모든 직선과 직각이어야 한다고 명시하지만, [XI권 명제 4]는 평면 위의 두 직선과 직각이기만 하면 직선이 나머지 모든 직선에 직각이라고 주장한다.
[정의 3]에는 직선이 평면과 만나고 평면에 있는 직선으로 직각을 만드는 직선을 말하는 묵시적인 가정이 있다. 직각을 이루는 두 직선의 개념은 두 각이 하나의 평면에 놓여 있다고 가정한다. 즉, 두 교차하는 직선이 하나의 평면에 놓여 있다고 가정한다. 이는 [XI권 명제 2]에서 입증된 것으로 추정된다.
평면과 수직인 직선의 개념은 입체 기하학에서 가장 중요한 것이다. [XI권 명제 4]부터 시작하여 XI권의 많은 명제에서 영향을 주고 사용된다.
[정의 4]에는 평면 위의 두 직선이 교점을 갖는다는 암묵적 가정도 있는데, 이는 [XI권 명제 3]에서 입증되는 것으로 추정되는 진술이다. 평면과 수직인 평면 개념은 한 평면 중 하나에 그려진 직선이 다른 평면에 직각이면 두 평면이 수직임을 진술하는 이 명제는 [XI권 명제 18]에 처음 나타난다.
[정의 5]는 직선과 평면 사이의 기울기(각도)를 해당 직선과 평면에 정사영 시킨 직선과의 각으로 정의하기 위한 것이다. 이를 위해서는 [XI권 명제 11]에 의해 보장되는 평면에 있지 않은 점에서 평면에 직각으로 직선이 있어야 한다. 또한 정의에 의해 구성된 각의 구성과 독립적이어야 한다.