증명

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두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 한 점 \(\rm E\)에서 만나고 교점 에 수직이면 점 \(\rm E\)를 지나고 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 수직인 직선 \(\rm EF\)가 있다.

그러면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포한하는 평면과도 수직임을 보이자.

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네 선분 \(\rm AB\), \(\rm EB\), \(\rm CE\), \(\rm ED\)가 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm EB}=\overline{\rm CE}=\overline{\rm EB}\)가 되도록 하자. 점 \(\rm E\)를 지나는 임의의 직선 \(\rm GEH\)를 그리자. [XI권 명제 2, I권 명제 3] 두 직선 \(\rm AD\), \(\rm CB\)를 그리자. 그리고 직선 \(\rm EF\) 위의 임의의 점 \(\rm F\)에서 선분 \(\rm FA\), \(\rm FG\), \(\rm FD\), \(\rm FC\), \(\rm FH\), \(\rm FB\)를 그리자.

두 삼각형 \(\rm EAD\), \(\rm EBC\)는 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm ED}=\overline{\rm EB}\)이고 \(\rm\angle AED=\angle BEC\)이므로 [I권 명제15] 합동이다.(SAS 합동) [I권 명제 4] 따라서 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm CB}\)이므로 \(\rm\angle DAE=\angle EBC\)이다.

그런데 \(\rm\angle AEG=\angle BEH\)이다. [I권 명제15]) 그러므로 두 삼각형 \(\rm AGE\), \(\rm BHE\)는 \(\rm\angle AEG=\angle BEH\), \(\rm\angle EAG=\angle EBH\), \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EB}\)이므로 합동이다.(SAS 합동) 따라서 나머지 변들도 그 길이가 같다. [I권 명제 26] 따라서 \(\overline{\rm EG}=\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm BH}\)이다.

그런데 두 삼각형 \(\rm FEA\), \(\rm FEB\)는 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FE}\)는 공통, \(\rm\angle FEA=\angle FEB=90^\circ\)이므로 합동이다.(SAS 합동) 따라서 \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm FB}\)이다. [I권 명제 4] 같은 이유로 두 삼각형 \(\rm FED\), \(\rm FEC\)도 합동이다. 따라서 \(\overline{\rm FC}=\overline{\rm FD}\)이다.

두 삼각형 \(\rm FAD\), \(\rm FBC\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm CB}\), \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm FB}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm FC}\)임을 보였으므로 합동이다.(SSS 합동) 따라서 \(\rm\angle FAD=\angle FBC\)이다. [I권 명제 8]

그리고 다시 두 삼각형 \(\rm FAG\), \(\rm FBH\)는 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm BH}\), \(\overline{\rm FA}=\overline{\rm FB}\), \(\rm\angle FAG=\angle FBH\)를 각각 보였으므로 합동이다.(SAS 합동) 따라서 \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FH}\)이다. [I권 명제 4]

또 다시 두 삼각형 \(\rm FEG\), \(\rm FEH\)는 \(\overline{\rm GE}=\overline{\rm EH}\)를 보였고, \(\overline{\rm EF}\)는 공통이고, \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FH}\)를 보였으므로 합동이다. (SSS 합동) 따라서 \(\rm\angle GEF=\angle HEF\)이다. [I권 명제 8]

그러므로 \(\rm\angle GEF=\angle HEF=90^\circ\)이다. 따라서 직선 \(\rm FE\)는 점 \(\rm E\)를 지나는 임의의 직선 \(\rm GH\)와 직각으로 만난다.

같은 방법으로 직선 \(\rm FE\)가 평면과 직선 \(\rm FE\)의 교점 \(\rm E\)를 지나고 그 평면 위에 있는 모든 직선과 직각임을 보일 수 있다.

그런데 어떤 직선이 평면과 한 점에서 만나고 그 한점을 지나며 평면 위에 있는 모든 직선과 수직이면 그 평면과 수직이다. [XI권 정의 3]

그런데 그 평면은 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면이다.

따라서 직선 \(\rm FE\)는 교점이 \(\rm E\)인 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면과 수직이다.

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그러므로 두 직선이 한 점에서 만나고 그 교점에서 두 직선에 수직인 직선은 그 두 직선을 포함하는 평면과도 수직이다.

Q.E.D.