증명

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주어진 평면 위의 임의의 점 \(\rm A\)가 있다.

그러면 점 \(\rm A\)을 지나며 평면에 수직인 같은 방향의 선분은 단 하나 밖에 없다는 것을 보이자.

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만약 주어진 평면 위에 임의의 점 \(\rm A\)를 지나며 평면에 수직인 같은 방향의 두 선분 \(\rm BA\), \(\rm AC\)를 그렸다고 하자.

두 직선 \(\rm BA\), \(\rm AC\)를 포함하는 평면을 그리자. 그러면 이 평면과 주어진 평면이 만나는 교선은 직선이다. [XI권 명제 3] 이것은 직선 \(\rm DAE\)이라고 하자.

그러면 세 직선 \(\rm AB\), \(\rm AC\), \(\rm DAE\)는 같은 평면 위에 있다. 그리고 직선 \(\rm CA\)가 주어진 평면과 수직이기 때문에 직선 \(\rm CA\)와 평면이 만나는 교점을 지나며 평면 위에 있는 직선은 모두 직선\(\rm CA\) 와 수직이다. [XI권 정의 3]

그런데 직선 \(\rm DAE\)는 평면 위에 있고 직선 \(\rm CA\)와 만나므로 \(\rm\angle CAE=90^\circ\)이다. 같은 이유로 \(\rm\angle BAE=90^\circ\)이다. 따라서 \(\rm \angle CAE=\angle BAE\)이다.

그리고 세 직선 \(\rm AB\), \(\rm AC\), \(\rm DAE\)는 같은 평면 위에 있다. 이것은 불가능하다.

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그러므로, 주어진 평면 위의 임의의 점을 지나며 평면에 수직인 같은 방향의 선분은 단 하나 밖에 없다.

Q.E.D.